Задание 4: Начала теории вероятностей

Типичная формулировка звучит так: «В магазине продаётся N товаров, из них M бракованных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный товар не бракован» или «В группе K человек, среди них L отличников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный человек — отличник». Часто встречаются сюжеты про монеты разного номинала, часы с циферблатом, кубики, лотерейные билеты, шары разных цветов.

…

• Классическое определение вероятности: если все исходы эксперимента равновозможны, то вероятность события $A$ равна $$P(A)=\frac{m}{n},$$ где $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$, $n$ — общее число всех равновозможных исходов.
• Вероятность любого события лежит в пределах $0 \le P(A) \le 1$.
• Вероятность достоверного события равна 1, вероятность невозможного события равна 0.
• Формула вероятности противоположного события: $$P(\overline{A})=1-P(A).$$
• Если событие описывается объединением нескольких непересекающихся исходов (например, «монета рублёвая или двухрублёвая»), то число благоприятных исходов складывается: $m = m_1+m_2$.
• Для задач с непрерывной величиной (стрелка часов, точка на отрезке) вместо количества исходов используют отношение длин (мер) участков — это частный случай геометрической вероятности, но подсчёт делается по той же логике «часть от целого».
• Важно правильно определить, что именно является полным набором исходов в задаче: все монеты, все насосы, все положения стрелки на циферблате и так далее.

1. Внимательно прочитать условие и определить, что является «полным набором исходов» — это общее число объектов, монет, положений стрелки и т. д. Обозначить его как $n$.
2. Определить, какое событие требуется найти, и понять, сколько исходов ему благоприятствует — обозначить как $m$.
3. Если удобнее считать не искомое событие, а противоположное, найти вероятность противоположного события и вычесть её из 1.
4. Если благоприятных категорий несколько, аккуратно сложить количество объектов в каждой из них.
5. Если задача связана с суммой, весом или другой числовой характеристикой, сначала вычислить общую величину, затем определить условие на отдельный объект (например, через неравенство), и только после этого посчитать количество подходящих объектов.
6. Если исходы непрерывные (положение стрелки, точка на отрезке), заменить подсчёт объектов на подсчёт длин соответствующих участков. …