Задание 3: Стереометрия

Задание всегда сопровождается рисунком (в реальном варианте — картинкой, здесь описанной словами) и содержит одну из типовых формулировок:

• «Найдите квадрат расстояния между вершинами...»;
• «Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке...»;
• «Найдите объём тела...»;
• «Во сколько раз изменится объём/площадь при изменении размеров...».

…

Куб и прямоугольный параллелепипед

• Диагональ прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a,b,c$: $d^2=a^2+b^2+c^2$.
• Диагональ куба со стороной $a$: $d=a\sqrt3$.
• Площадь поверхности параллелепипеда: $S=2(ab+bc+ac)$.
• Объём параллелепипеда: $V=abc$; объём куба: $V=a^3$.

Призма

• Объём: $V=S_{\text{осн}}\cdot h$.
• Площадь боковой поверхности прямой призмы: $S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h$.
• Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$: $S=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.
• Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$: $S=\dfrac{3a^2\sqrt3}{2}$.

Пирамида

• Объём: $V=\dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot h$.
• Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: $S_{\text{бок}}=\dfrac{1}{2}P_{\text{осн}}\cdot l$, где $l$ — апофема.

Цилиндр

• Объём: $V=\pi r^2 h$.
• Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}}=2\pi rh$.
• Полная поверхность: $S=2\pi r(r+h)$.

Конус

• Объём: $V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$.
• Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}}=\pi r l$, где $l$ — образующая, $l^2=r^2+h^2$.

Шар

• Объём: $V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$.
• Площадь поверхности: $S=4\pi R^2$.

Составные многогранники

• Объём составного тела равен сумме (или разности) объёмов частей.
• При склейке двух тел общие соприкасающиеся грани не входят в площадь поверхности — их нужно вычесть дважды (по разу с каждого тела).

1. Внимательно изучить рисунок и условие: определить тип фигуры (простая или составная), какие величины даны, что нужно найти.
2. Отметить прямые углы, параллельные и перпендикулярные рёбра — они указывают, где применима теорема Пифагора или прямое произведение измерений.
3. Если тело составное — мысленно разбить его на простые части (кубы, параллелепипеды, призмы, пирамиды).
4. Выбрать подходящую формулу объёма или площади для каждой части.
5. Учесть общие грани при подсчёте площади поверхности (вычесть их дважды) или убедиться, что объёмы просто складываются.
6. Подставить числовые данные, аккуратно провести вычисления.
7. Проверить размерность ответа и его правдоподобность (для площади — квадратные единицы, для объёма — кубические, но в ответе ЕГЭ единицы не пишутся).