Задание 19: Числа и их свойства

Задание состоит из сюжетного описания (числа на карточках, гирьки на весах, участники турнира, куски верёвки в мотках) и трёх пунктов:

• а) — простой вопрос «да/нет», часто проверяется на конкретном наборе чисел;
• б) — более общий вопрос «да/нет», требует доказательства через уравнение или свойство чисел (чётность, делимость, целочисленность);
• в) — найти наибольшее/наименьшее возможное значение, требуется и оценка сверху (снизу), и пример, который её достигает.

…

• Среднее арифметическое набора чисел: $$\bar{x} = \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$$
• Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$$
• Сумма первых $n$ натуральных чисел: $$1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}$$
• Признак делимости и свойства остатков: если $a = bq + r$, где $0 \le r < b$, то $a$ делится на $b$ тогда и только тогда, когда $r=0$.
• Число $N$ является целым, если все операции с ним (деление, умножение) дают целый результат — это часто ключевое ограничение в задачах на частное числа и суммы цифр.
• Трёхзначное число: $N = 100a+10b+c$, где $a\in\{1,\dots,9\}$, $b,c\in\{0,\dots,9\}$; сумма цифр $S(N)=a+b+c$.
• В спортивных турнирах по круговой системе с $n$ участниками, где каждый играет с каждым дважды, общее число партий равно $n(n-1)$, и в каждой партии распределяется ровно 1 очко (победа 1:0 или ничья 0,5:0,5), поэтому сумма очков всех участников равна $$S = n(n-1)$$
• Оценка «сверху/снизу + пример»: чтобы найти максимум или минимум, нужно доказать неравенство (оценку) и построить конкретный набор чисел, на котором оно превращается в равенство.

1. Внимательно прочитать условие, выделить все числовые величины и связи между ними (количество элементов, суммы, средние значения, ограничения на диапазон).
2. Ввести переменные для неизвестных величин (количество гирек, значение цифр, число побед и т.д.).
3. Записать уравнения или неравенства, отражающие условие задачи, используя формулы среднего, суммы или количества партий.
4. Учесть все скрытые ограничения: целочисленность, положительность, диапазон цифр (0–9), «не может начинаться с нуля», «хотя бы один элемент» и т.п.
5. Для пунктов а) и б) — подставить конкретные числа или проверить уравнение на существование целочисленного решения; сделать вывод «да» или «нет» с коротким обоснованием.
6. Для пункта в) — сначала доказать оценку (максимум не может быть больше/минимум не может быть меньше определённого значения), затем построить конкретный пример, на котором оценка достигается. …