Марафон: задание 19

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в)  Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью  — 0,5 очка, за проигрыш  — 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.

а)  Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m  =  3, d  =  2?

б)  Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d  =  10.

в)  Каковы все возможные значения d, если m  =  7d и известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?

За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью  — 0,5 очка, за проигрыш  — 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.

а)  Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m  =  2, d  =  2?

б)  Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d  =  10?

в)  Каковы все возможные значения d, если известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?

Известно, что a, b, c, и d  — попарно различные положительные двузначные числа.

а)  Может ли выполняться равенство

б)  Может ли дробь быть в 11 раз меньше, чем сумма

в)  Какое наименьшее значение может принимать дробь если и

Пусть q  — наименьшее общее кратное, а d  — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству 3x = 8y − 29.

а)  Может ли быть равным 170?

б)  Может ли быть равным 2?

в)  Найдите наименьшее значение

Известно, что a, b, c, и d  — попарно различные положительные двузначные числа.

а)  Может ли выполняться равенство

б)  Может ли дробь быть в 11 раз меньше, чем сумма

в)  Какое наименьшее значение может принимать дробь если и

Известно, что a, b, c и d  — попарно различные положительные двузначные числа.

а)  Может ли выполняться равенство

б)  Может ли дробь быть в 11 раз меньше, чем сумма

в)  Какое наименьшее значение может принимать дробь если и

Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.

а)  Существуют ли двадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть три очень счастливых?

б)  Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2016?

в)  Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

а)  Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d  =  15 и a² − b² + с² − d²  =  27.

б)  Может ли быть a + b + с + d  =  19 и a² − b² + с² − d²  =  19?

в)  Пусть a + b + с + d  =  1000 и a² − b² + с² − d²  =  1000. Найдите количество возможных значений числа a.

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

а)  Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d  =  15 и a² − b² + с² − d²  =  19.

б)  Может ли быть a + b + с + d  =  23 и a² − b² + с² − d²  =  23?

в)  Пусть a + b + с + d  =  1200 и a² − b² + с² − d²  =  1200. Найдите количество возможных значений числа a.

Четыре натуральных числа a, b, c, d таковы, что

а)  Могут ли все числа быть попарно различны?

б)  Может ли одно из этих чисел равняться 9?

в)  Найдите все возможные наборы чисел (без учета их порядка в наборе), среди которых ровно два числа равны.

Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а)  Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно

б)  Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно

в)  Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?

По кругу в некотором порядке по одному разу написаны натуральные числа от 9 до 18. Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.

а)  Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?

б)  Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны?

в)  Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?

Коля множил некоторое натуральное число на соседнее натуральное число, и получил произведение, равное m. Вова умножил некоторое четное натуральное число на соседнее четное натуральное число и получил произведение, равное n.

а)  Может ли модуль разности чисел m и n равняться 6?

б)  Может ли модуль разности чисел m и n равняться 13?

в)  Какие значения может принимать модуль разности чисел m и n?

На окружности некоторым способом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.

а)  Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?

б)  Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?

в)  Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?

Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку  — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма  — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма оценивают следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое оставшихся оценок.

а)  Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания равняться

б)  Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания равняться

в)  Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста  — доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.

а)  Всего проголосовало 13 посетителей сайта. Голоса распределились так, что рейтинг некоторого футболиста стал равным 31. Затем Вася проголосовал за этого футболиста. Каков теперь рейтинг футболиста с учётом голоса Васи?

б)  Голоса распределяют между двумя футболистами. Может ли суммарный рейтинг быть больше 100?

в)  На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 7. После того как Вася отдал свой голос за этого футболиста, рейтинг стал равен 9. При каком наибольшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?

Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 4000. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n  ― также натуральное число.

а)  Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б)  Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в)  Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n < 100.

а)  Чему равно число способов записать число 1292 в виде где числа   — целые,

б)  Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде где числа   — целые, ровно 130 способами?

в)  Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде где числа   — целые, ровно 130 способами?

а)  Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б)  Можно ли число 199 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в)  Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.