Задание 18 ЕГЭ: уравнения с параметром и модулем — гайд

О чём эта подтема

Задание 18 профильного ЕГЭ часто включает уравнения, где под модулем стоит выражение, зависящее и от переменной $x$, и от параметра $a$. Требуется найти значения $a$, при которых уравнение обладает заданным свойством: имеет корни, не имеет корней, имеет ровно (или больше) определённое количество решений, все решения принадлежат промежутку и т. п.

Модуль превращает обычное уравнение в разветвлённую конструкцию: приходится рассматривать несколько случаев раскрытия знака, следить за областью определения и не терять корни при объединении случаев. Параметр добавляет ещё один уровень сложности — нужно анализировать, как меняется картина при изменении $a$.

Эта подтема проверяет одновременно технику работы с модулем и умение исследовать параметрические семейства уравнений — то есть требует аккуратности и системного подхода, а не только знания формул.

Что нужно знать

Определение модуля. $$|f(x)|=\begin{cases}f(x), & f(x)\ge 0,\\ -f(x), & f(x)<0.\end{cases}$$

Равенство модулей. $$|A|=|B|\iff A=B \text{ или } A=-B.$$ Это ключевой приём: сложное уравнение с модулями сводится к двум обычным уравнениям.

Модуль разности как расстояние. $|x-p|$ — расстояние от $x$ до $p$. Отсюда: $$|t-p|+|t-q|\ge |p-q|,$$ равенство достигается тогда и только тогда, когда $t$ лежит между $p$ и $q$ (включительно). Это часто заменяет громоздкое раскрытие модулей по промежуткам.

Область определения. Если под модулем стоит дробь или корень, сначала фиксируется ОДЗ (например, $x\neq 0$). Потерянный или лишний корень из-за ОДЗ — частая причина неверного ответа.

Квадратные уравнения с параметром. Нужно уверенно работать с дискриминантом $D=b^2-4ac$: $D>0$ — два различных корня, $D=0$ — один кратный корень, $D<0$ — нет действительных корней.

Вырожденные случаи. При раскрытии модуля через $A=-B$ часто получается линейное уравнение вида $kx=m$ с коэффициентом $k$, зависящим от $a$. Отдельно разбирается случай $k=0$: уравнение либо не имеет решений (если $m\neq0$), либо выполняется тождественно (если $m=0$) — второй случай даёт бесконечно много корней и может изменить ответ.

Множество значений выражений с параметром. Для задач «уравнение имеет хотя бы один корень» полезно находить множество значений выражения типа $x+\dfrac{a^2}{x}$: при $x>0$ по неравенству о средних $$x+\frac{a^2}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot\frac{a^2}{x}}=2|a|,$$ равенство при $x=|a|$.

Как решать: метод и алгоритм

1. Определить тип вопроса. Что спрашивается: существование корня, точное число корней, принадлежность промежутку? Это определяет, что придётся анализировать в конце.

2. Зафиксировать ОДЗ. Выписать все ограничения на $x$ (знаменатели $\neq 0$, подкоренные выражения $\ge 0$).

3. Упростить структуру модуля.

• Если уравнение имеет вид $|A(x,a)|=|B(x,a)|$, сразу перейти к двум случаям $A=B$ и $A=-B$.
• Если под модулями стоит одна и та же комбинация переменных, ввести замену $t$ и решить уравнение относительно $t$, используя геометрический смысл суммы модулей.
• Если модулей несколько и они «разные», рассмотреть раскрытие по промежуткам знакопостоянства подмодульных выражений.

4. Решить каждый случай отдельно как уравнение относительно $x$ с параметром $a$: выразить $x$ через $a$ либо исследовать дискриминант.

5. Обработать вырожденные значения параметра. Проверить: когда коэффициент при $x$ обращается в нуль, когда дискриминант равен нулю, когда решения из разных случаев совпадают.

6. Собрать все найденные корни в одно множество (с учётом ОДЗ) и оценить его в зависимости от условия задачи.

7. Сформулировать условие на $a$ и решить получившееся неравенство или уравнение, объединив все случаи в финальный ответ.

8. Проверить границы, подставив крайние значения $a$ в исходное уравнение.

Разбор примера

Пример 1

Найти все $a$, при которых уравнение $$\left|x+\frac{a^2}{x}+1\right|+\left|x+\frac{a^2}{x}-1\right|=2$$ имеет хотя бы один корень.

Шаг 1. Замена. ОДЗ: $x\neq 0$. Пусть $t=x+\dfrac{a^2}{x}$. Уравнение принимает вид $|t+1|+|t-1|=2$.

Шаг 2. Геометрический смысл. Левая часть — сумма расстояний от $t$ до $-1$ и до $1$. Расстояние между этими точками равно $2$, поэтому сумма равна $2$ ровно тогда, когда $t$ лежит между ними: $$-1\le t\le 1.$$

Шаг 3. Условие на существование $x$. Нужно, чтобы нашлось $x\neq0$ с $-1\le x+\dfrac{a^2}{x}\le1$.

При $a=0$: $t=x$, и, например, $x=1$ подходит — значит $a=0$ годится.

При $a\neq0$: при $x>0$ по неравенству о средних $x+\dfrac{a^2}{x}\ge 2|a|$, минимум достигается при $x=|a|$, множество значений — $[2|a|;+\infty)$. Пересечение с $[-1;1]$ существует, если $2|a|\le1$. При $x<0$ аналогично множество значений $(-\infty;-2|a|]$, условие снова $2|a|\le1$.

Шаг 4. Ответ. $2|a|\le1\iff|a|\le\dfrac12$, значение $a=0$ входит в этот промежуток: $$a\in\left[-\frac12;\frac12\right].$$

Пример 2

Найти все $a$, при которых уравнение $$|x^2-2ax+7|=|6a-x^2-2x-1|$$ имеет более двух корней.

Шаг 1. Раскрытие равенства модулей. Пусть $A=x^2-2ax+7$, $B=-x^2-2x+6a-1$. Уравнение $|A|=|B|$ равносильно $A=B$ или $A=-B$.

Случай $A=B$: $2x^2+(2-2a)x+(8-6a)=0$, после деления на 2: $$x^2+(1-a)x+(4-3a)=0. \quad (\text{I})$$

Случай $A=-B$: $(a+1)(6-2x)=0$. Значит, либо $a=-1$ (тождество при любом $x$), либо $x=3$.

Шаг 2. Случай $a=-1$. При $a=-1$ получаем $A=x^2+2x+7$, $B=-A$, поэтому $|A|=|B|$ выполняется для всех $x$ — бесконечно много корней, заведомо больше двух. Значение $a=-1$ входит в ответ отдельной точкой.

Шаг 3. Случай $a\neq-1$. Тогда из второй ветви — единственный корень $x=3$, из первой — уравнение (I) с дискриминантом $$D=(1-a)^2-4(4-3a)=a^2+10a-15,$$ $D\ge0\iff a\le-5-2\sqrt{10}$ или $a\ge-5+2\sqrt{10}$.

• При $-5-2\sqrt{10}<a<-5+2\sqrt{10}$ ($a\neq-1$) уравнение (I) не имеет корней — итого один корень $x=3$, не подходит.
• При $D=0$ (I) даёт один кратный корень — итого не более двух корней, не подходит.
• При $D>0$ (I) даёт два различных корня $x_1,x_2$; кандидатов три: $\{3,x_1,x_2\}$. Нужно, чтобы $x=3$ не совпадало с $x_1,x_2$.

Подставив $x=3$ в (I): $16-6a=0\Rightarrow a=\dfrac83$ — при этом значении корень $x=3$ совпадает с одним из корней (I), и остаётся только два различных корня, поэтому эту точку исключаем.

Шаг 4. Итог. $$a\in(-\infty;-5-2\sqrt{10})\cup\{-1\}\cup\left(-5+2\sqrt{10};\tfrac83\right)\cup\left(\tfrac83;+\infty\right).$$

Обратите внимание: $a=-1$ входит в ответ отдельной точкой, а не частью промежутка — это тот самый вырожденный случай из алгоритма.

Типичные ошибки

• Забывают про ОДЗ. Если под модулем стоит дробь, нужно всюду помнить об ограничениях на $x$ и проверять найденные корни.
• Пропускают вырожденный случай $k=0$ при решении линейного уравнения $kx=m$ с параметром — именно тогда уравнение может превратиться в тождество и дать бесконечно много решений.
• Не проверяют совпадение корней из разных случаев, что критично при подсчёте числа решений — совпадение уменьшает итоговое количество различных корней.
• Механически раскрывают модуль по определению во всех случаях, хотя быстрее использовать $|A|=|B|\iff A=B$ или $A=-B$, либо геометрический смысл суммы модулей.
• Путают знаки неравенства на границе при переходе от условия на $t$ (или $x$) к условию на $a$ — обязательно проверять граничные значения подстановкой.
• Не проверяют, при каком $x$ достигается минимум/максимум в неравенстве о средних, из-за чего ошибочно определяют пересечение множеств значений.

На что обратить внимание на экзамене

Работайте по чёткому алгоритму: сначала ОДЗ, потом переход от модулей к системе обычных уравнений, потом отдельный разбор вырожденных значений параметра, и только в конце — сборка ответа. Не пытайтесь угадать структуру ответа заранее: параметрические уравнения с модулем почти всегда дают несколько «кусков» на числовой прямой, и потерять один из них (особенно отдельную точку, как $a=-1$ в примере 2) — самая частая причина потери баллов.

Всегда подставляйте граничные значения параметра в исходное уравнение — это быстрый способ проверить, входит точка в ответ или нет. Если задача про число корней, составляйте список «кандидатов» и явно проверяйте их попарное совпадение — дискриминант, отличный от нуля, гарантирует различие корней только внутри одной ветви, а не между всеми найденными корнями.

Записывайте промежуточные результаты аккуратно, отдельно фиксируя условия ОДЗ, условия на дискриминант и условия совпадения корней — это облегчит объединение всех ограничений в итоговый ответ.