Задача 520999. Уравнения с параметром, содержащие модуль

1. Замена. Пусть $t=x+\dfrac{a^2}{x}$ (при $x\neq 0$). Уравнение принимает вид $$|t+1|+|t-1|=2.$$

2. Решаем по $t$. Сумма $|t+1|+|t-1|$ — это сумма расстояний от точки $t$ до $-1$ и до $1$. Она равна $2$ (расстоянию между этими точками) тогда и только тогда, когда $t$ лежит между ними: $$-1\le t\le 1.$$ (Если $|t|>1$, сумма равна $2|t|>2$.)

3. Условие существования корня. Нужно, чтобы нашлось $x\neq0$ с $-1\le x+\dfrac{a^2}{x}\le 1$.

Случай $a=0$: тогда $t=x$, и любое $x\in[-1;1]$, $x\neq0$ (например $x=1$) подходит. Значит, $a=0$ годится.

Случай $a\neq0$:

• при $x>0$ по неравенству о среднем $x+\dfrac{a^2}{x}\ge 2|a|$, причём значение $2|a|$ достигается при $x=|a|$, а множество значений — $[2|a|;+\infty)$. Оно пересекается с $[-1;1]$ тогда и только тогда, когда $2|a|\le 1$;
• при $x<0$ аналогично $x+\dfrac{a^2}{x}\le -2|a|$, множество значений $(-\infty;-2|a|]$, и условие снова $2|a|\le1$.

4. Итог. $2|a|\le 1\iff |a|\le \dfrac12$. Значение $a=0$ этому тоже удовлетворяет, поэтому $$a\in\left[-\tfrac12;\tfrac12\right].$$