Задание 18 ЕГЭ: метод координатной плоскости (x, a)

О чём эта подтема

В задании 18 часто встречается ситуация, когда алгебраические преобразования дают слишком громоздкую картину для перебора вручную. В таких случаях удобно перейти от привычной числовой прямой $Ox$ к плоскости с двумя осями — $x$ и $a$. Уравнение или неравенство с параметром задаёт на этой плоскости кривую (или несколько кривых), а каждое конкретное значение параметра $a=a_0$ соответствует горизонтальной прямой. Точки пересечения этой прямой с кривыми и есть решения исходной задачи при данном $a$.

Такой взгляд превращает алгебраическую задачу в геометрическую: вместо того чтобы решать неравенство отдельно для каждого случая расположения параметра, можно один раз нарисовать «карту» на плоскости $(x,a)$ и потом просто «читать» её при разных положениях горизонтальной прямой. Это особенно полезно, когда нужно определить не конкретные корни, а свойство множества решений — является ли оно лучом, отрезком, одной точкой, содержит ли решение с условием вроде $x<2$ и т.п.

Что нужно знать

• Разложение выражения на множители, чтобы явно выразить корни числителя/знаменателя (или подмодульных выражений) как функции параметра — обычно получаются простые зависимости вида $x=a$, $x=\dfrac1a$, $x=g(a)$.
• Теорема Виета для быстрого получения второй координаты кривой без развёрнутого решения квадратного уравнения.
• Умение строить простые кривые на плоскости: прямые $x=a$, гиперболы вида $ax=1$, параболы.
• Метод интервалов, применённый сразу к двум переменным: кривые делят плоскость на области постоянного знака выражения, знак определяется пробной точкой в каждой области.
• Точное понимание того, что такое «луч» как множество решений: это единственный бесконечный промежуток вида $[c;+\infty)$ или $(-\infty;c]$ — без выколотых точек и без дополнительных изолированных решений.
• Работа с заменой переменной (например, $t=\log_{0.5}x$) и перевод условий на исходную переменную ($x<2$) в условия на новую переменную с учётом монотонности функции.
• ОДЗ: точки, где знаменатель равен нулю, где логарифм не определён — их нужно исключить заранее, до построения картинки.

Как решать: метод и алгоритм

1. Упростить выражение и найти нули числителя, знаменателя или подмодульных выражений как явные функции параметра.
2. Изобразить эти зависимости как кривые на плоскости $(x,a)$ — каждая делит плоскость на области.
3. Определить знак исходного выражения в каждой области (проверкой в пробной точке).
4. Зафиксировать значение параметра — провести горизонтальную прямую $a=a_0$ — и посмотреть, в каких промежутках по $x$ она попадает в нужную по знаку область, учитывая выколотые точки на границах.
5. Перевести условие задачи («луч», «хотя бы одно решение $x<2$», «единственное решение» и т.п.) на язык этой картинки.
6. Перебрать характерные («переломные») значения параметра — когда кривые совпадают, пересекаются в контрольной точке или меняют взаимный порядок — и проверить каждый случай отдельно.
7. Объединить все подходящие значения параметра в ответ, проверив контрольные случаи прямой подстановкой.

Разбор примера

Пример 1. Найти все положительные $a$, при которых множеством решений неравенства $$\frac{x-2}{ax^2-(a^2+1)x+a}\ge0$$ является некоторый луч.

Шаг 1. Разложение знаменателя. При $a\ne0$: $$ax^2-(a^2+1)x+a=(x-a)(ax-1).$$ Корни знаменателя — $x=a$ и $x=\dfrac1a$, их произведение равно $1$. На плоскости $(x,a)$ это две кривые: прямая $x=a$ (биссектриса первой четверти) и гипербола $x=\dfrac1a$.

Шаг 2. Неравенство и общая структура решений. Неравенство принимает вид $$\frac{x-2}{(x-a)(ax-1)}\ge0,\quad a>0.$$ При больших $x$ числитель и знаменатель положительны, поэтому решение всегда содержит луч $(M;+\infty)$ для достаточно больших $M$. Значит, если множество решений — луч, то это луч именно вида $[c;+\infty)$.

Шаг 3. Разбор по горизонтальным сечениям. Зафиксируем $a>0$ и посмотрим на расположение точек $x=2$, $x=a$, $x=\dfrac1a$ на числовой прямой.

• Если $a=1$, обе кривые сливаются: $x=a=\dfrac1a=1$. Тогда $$\frac{x-2}{(x-1)^2}\ge0\iff x\ge2,\ x\ne1\iff x\in[2;+\infty).$$ Это луч — значение подходит.
• Если $a\ne1$, обозначим корни $p<q$ (где $pq=1$, значит $p<1<q$). Метод интервалов даёт разные картины в зависимости от положения точки $2$ относительно $p$ и $q$: — при $2>q$ решение $x\in(p;q)\cup[2;+\infty)$ — два куска, не луч; — при $p<2<q$ решение $x\in(p;2]\cup(q;+\infty)$ — не луч; — при $2<p$ решение $\{2\}\cup(q;+\infty)$ — не луч; — если $2$ совпадает с одним из корней (тогда второй корень равен $\tfrac12$, то есть $a=2$ или $a=\tfrac12$), точка $x=2$ выкалывается, и получается $\left(\tfrac12;+\infty\right)\setminus\{2\}$ — тоже не луч.

Вывод. Ни один из случаев с $a\ne1$ не даёт луча, поэтому единственное подходящее значение — $a=1$.

Пример 2. Найти все $a$, при которых уравнение $$\left|\log_{0.5}(x^2)-a\right|-\left|\log_{0.5}x+2a\right|=(\log_{0.5}x)^2$$ имеет хотя бы одно решение $x<2$.

Шаг 1. Замена переменной. Область определения — $x>0$. Пусть $t=\log_{0.5}x$, тогда $\log_{0.5}(x^2)=2t$. Уравнение принимает вид $$|2t-a|-|t+2a|=t^2.$$ Поскольку $\log_{0.5}$ убывает, условию $0<x<2$ соответствует $t>\log_{0.5}2=-1$. Значит, нужно найти все $a$, для которых существует $t>-1$, удовлетворяющее уравнению.

Шаг 2. Плоскость $(t,a)$. Линии, на которых меняются знаки модулей — это $a=2t$ и $a=-\dfrac{t}{2}$. Они делят плоскость на четыре сектора, в каждом из которых модули раскрываются однозначно, и уравнение превращается в явную параболу $a=\varphi_i(t)$:

• сектор, где $2t\ge a,\ t+2a\ge0$: $a=\dfrac{t-t^2}{3}$;
• сектор, где $2t\ge a,\ t+2a<0$: $a=t^2-3t$;
• сектор, где $2t<a,\ t+2a\ge0$: $a=-t^2-3t$;
• сектор, где $2t<a,\ t+2a<0$: $a=\dfrac{t^2+t}{3}$.

Шаг 3. Отбор допустимых кусков. Для каждой параболы нужно оставить только ту часть, что лежит в «своём» секторе (проверяются неравенства, задающие сектор), и дополнительно ограничить $t>-1$. После подстановки условий сектора получаются интервалы по $t$: например, вторая парабола $a=t^2-3t$ действует при $t\in(0;2{,}5)$ и достигает минимума $a=-\dfrac94$ при $t=1{,}5$; третья парабола $a=-t^2-3t$ при ограничении $t>-1$ действует на $t\in(-1;0)$ и стремится к $a=2$ при $t\to-1^+$, но не достигает этого значения.

Шаг 4. Объединение проекций. Проецируя все допустимые куски парабол на ось $a$, получаем, что наименьшее достижимое значение — $a=-\dfrac94$ (достигается на второй параболе при $t=1{,}5$), а верхняя граница — $a=2$, которое не достигается (предельное значение при $t\to-1^+$ на третьей параболе). Все промежуточные значения покрываются непрерывно за счёт перекрытия кусков.

Ответ. $-\dfrac94\le a<2$.

Этот пример показывает ту же идею метода координатной плоскости, только роль «оси $x$» здесь играет новая переменная $t$: явные формулы $a=\varphi_i(t)$ — это кривые, а требование «$t>-1$» — это ограничение на область, в которой ищется пересечение.

Типичные ошибки

• Забывают учитывать ОДЗ: например, $a=0$ в первом примере меняет вид уравнения (степень знаменателя падает), это нужно проверять отдельно, а условие $a>0$ по смыслу задачи исключает такие случаи, но в других задачах ноль параметра часто требует отдельного разбора.
• Путают открытый и закрытый луч: не проверяют, выколота ли граничная точка, и получают неверный ответ там, где формально «похоже на луч».
• Не учитывают, что при совпадении корней (кратный корень) знак выражения в этой точке не меняется — это критично для определения структуры решения.
• При замене переменной забывают про направление монотонности функции и переводят условие $x<2$ в условие на $t$ с неверным знаком неравенства.
• Рассматривают не все случаи взаимного расположения корней/линий на плоскости — пропускают пограничные значения параметра, при которых картина качественно меняется.
• Не проверяют полученный ответ прямой подстановкой хотя бы в одном контрольном случае, из-за чего пропускают арифметическую ошибку в разложении на множители.

На что обратить внимание на экзамене

• Всегда явно выписывайте ОДЗ переменной и параметра до начала анализа — это отсекает заведомо неверные ветки.
• При построении кривых на плоскости $(x,a)$ ищите произведение или сумму корней через теорему Виета — это быстрее полного решения квадратного уравнения.
• Отдельно проверяйте пограничные значения параметра, при которых кривые пересекаются, совпадают или проходят через контрольную точку задачи (в примерах выше это $a=1$ и точки, где $x=2$ совпадает с корнем).
• Формулируйте условие задачи (луч, наличие решения с ограничением, единственность) в геометрических терминах до того, как начнёте перебор случаев — это экономит время и уменьшает число ошибок.
• В конце обязательно подставляйте найденные значения параметра в исходное неравенство или уравнение, чтобы убедиться, что структура решения действительно соответствует условию задачи.