Задача 501219. Координаты (x, a)

Разложим знаменатель на множители. При $a\ne 0$ $$ax^2-(a^2+1)x+a=(x-a)(ax-1),$$ так как $(x-a)(ax-1)=ax^2-x-a^2x+a=ax^2-(a^2+1)x+a$. Корни знаменателя: $x=a$ и $x=\dfrac1a$ (их произведение равно $1$).

Итак, неравенство: $\dfrac{x-2}{(x-a)(ax-1)}\ge 0$, $a>0$.

Замечание. При больших $x$ и числитель, и знаменатель положительны, значит решение всегда содержит некоторый промежуток вида $(M;+\infty)$. Поэтому луч может быть только видом $[c;+\infty)$.

Случай 1: $a=1$. Тогда $(x-1)(x-1)=(x-1)^2$, и $$\frac{x-2}{(x-1)^2}\ge0\iff x-2\ge0,\ x\ne1\iff x\in[2;+\infty).$$ Это луч — значение подходит.

Случай 2: $a\ne1$, тогда корни $a$ и $1/a$ различны; обозначим $p<q$ (причём $pq=1$, значит $p<1<q$).

• Если $2>q$: методом интервалов получаем $x\in(p;q)\cup[2;+\infty)$ — не луч.
• Если $p<2<q$: получаем $x\in(p;2]\cup(q;+\infty)$ — не луч.
• Если $2<p$: получаем $\{2\}\cup(q;+\infty)$ — не луч.
• Если $2$ — корень знаменателя: так как произведение корней равно $1$, второй корень равен $\tfrac12$, т.е. $a=2$ или $a=\tfrac12$. Например, при $a=2$: $$\frac{x-2}{(x-2)(2x-1)}\ge0\iff \frac{1}{2x-1}\ge0,\ x\ne2\iff x\in\left(\tfrac12;+\infty\right)\setminus\{2\}.$$ Точка $x=2$ выколота, значит это не луч. Аналогично при $a=\tfrac12$: $x\in(\tfrac12;+\infty)\setminus\{2\}$ — не луч.

Следовательно, единственное подходящее положительное значение: $a=1$.