Задание 18 ЕГЭ: аналитическое решение систем с параметром

О чём эта подтема

Задание 18 профильного ЕГЭ — самое трудоёмкое текстовое задание экзамена. В нём нужно найти все значения параметра $a$, при которых система уравнений или неравенств удовлетворяет заданному условию: имеет решения, не имеет решений, имеет ровно одно решение, ровно шесть решений и так далее. Подтема «аналитическое решение систем» объединяет задачи, где графическая интерпретация (окружности, параболы, прямые) либо слишком сложна для точного счёта, либо служит лишь опорой, а окончательный ответ получают через алгебру: анализ дискриминанта, разложение на множители, подбор специальных точек, замену переменной. Обычно системы состоят из двух уравнений или неравенств с одной-двумя переменными и параметром, и требуется точно посчитать количество решений или условия их существования, не полагаясь только на картинку.

Что нужно знать

Для уверенного решения таких задач нужен свободный навык работы с квадратным трёхчленом и системами.

• Для трёхчлена $f(x)=Ax^2+Bx+C$ дискриминант $D=B^2-4AC$ определяет число корней. При $D=0$ трёхчлен имеет двойной корень $x_0=-\dfrac{B}{2A}$ и раскладывается как $f(x)=A(x-x_0)^2$: он не меняет знак и обращается в нуль ровно в одной точке.
• Если $A>0$ и $D=0$, неравенство $f(x)\le 0$ имеет единственное решение $x=x_0$; если $A<0$ и $D=0$, единственное решение имеет неравенство $f(x)\ge 0$. Это ключевой источник значений параметра в задачах на «единственное решение».
• При $D>0$: если $A>0$, множество $\{f(x)\le0\}$ — отрезок между корнями, а $\{f(x)\ge0\}$ — объединение двух лучей; при $A<0$ — наоборот.
• Случай $A=0$ (коэффициент при $x^2$ обращается в 0 при конкретном значении параметра) нужно разбирать отдельно: трёхчлен вырождается в линейную функцию, и логика с дискриминантом теряет смысл.
• Мощный приём — поиск «инвариантной точки»: подставить в оба выражения системы одно и то же значение переменной (например, $x=0,\,1,\,-1$) и проверить, не совпадают ли значения независимо от параметра. Такая точка часто оказывается границей искомого множества значений $a$.
• Уравнение $x^2+y^2-2x+1-a^2=0$ после выделения полного квадрата превращается в уравнение окружности $(x-1)^2+y^2=a^2$ с центром $(1,0)$ и радиусом $|a|$ — подобные преобразования нужно видеть сразу.
• Уравнение с модулем $|y|=g(x)$ задаёт кривую, симметричную относительно оси $Ox$: верхнюю часть $y=g(x)$ и нижнюю $y=-g(x)$ (обе при $g(x)\ge0$).
• Если вся конструкция симметрична относительно оси $Ox$, решения обычно возникают парами $(x,y)$ и $(x,-y)$, кроме точек на самой оси — их считают один раз. Ошибка в подсчёте кратности — частая причина неверного ответа.
• Замена $u=(x-x_0)^2\ge0$ сводит уравнение с квадратом разности к уравнению относительно $u$; далее отдельно учитывают, что каждому $u>0$ отвечают два значения $x$, а $u=0$ — одно.

Как решать: метод и алгоритм

1. Упростите оба уравнения/неравенства алгебраически: выделите полный квадрат, приведите к стандартному виду окружности, параболы или квадратного трёхчлена относительно нужной переменной.
2. Проверьте вырожденные случаи — значения параметра, при которых старший коэффициент обращается в 0. Разберите их отдельно, даже если в итоге они не войдут в ответ.
3. Попробуйте найти инвариантные точки: подставьте простое значение переменной в оба выражения и посмотрите, совпадают ли результаты. Совпадение значений часто указывает на критическое значение $a$.
4. Для системы из двух неравенств с квадратными трёхчленами определите для каждого знак старшего коэффициента и дискриминант как функцию параметра, опишите множество решений каждого неравенства.
5. Пересеките полученные множества и определите, при каких значениях параметра пересечение состоит ровно из одной точки. Это происходит в двух типах ситуаций: (а) одно из множеств вырождается в точку через $D=0$, и она удовлетворяет второму условию; (б) границы двух множеств «стыкуются» в одной точке — трёхчлены имеют общий корень, и направления неравенств подобраны так, что рядом других общих решений нет.
6. Для систем уравнений с окружностью и кривой с модулем сделайте замену $u=(x-x_0)^2$, сведите задачу к исследованию функции $h(u)=r^2$ на нужном отрезке значений $u$, найдите число решений $u$, а затем переведите каждое $u$ в количество пар $(x,y)$ с учётом кратности по $x$ и по $y$.
7. Отдельно проверьте граничные случаи (вершины кривых, точки на оси симметрии) — именно они часто дают «круглые» ответы вроде ровно шести решений.
8. Соберите все найденные значения параметра и при необходимости подставьте их обратно в исходную систему для проверки.

Разбор примера

Пример 1. Найдите все значения $a$, при каждом из которых система $$\begin{cases}(a-1)x^2+2ax+a+4\le0,\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\ge0\end{cases}$$ имеет единственное решение.

Обозначим $f(x)=(a-1)x^2+2ax+a+4$ и $g(x)=ax^2+2(a+1)x+a+1$.

Шаг 1. Ищем инвариантные точки. Подставим $x=1$: $f(1)=(a-1)+2a+a+4=4a+3$, $g(1)=a+2(a+1)+a+1=4a+3$. Значения совпали при любом $a$. Значит, $x=1$ удовлетворяет обоим условиям одновременно только когда $4a+3=0$, то есть $a=-\dfrac34$ — тогда $f(1)=g(1)=0$.

Шаг 2. Проверим единственность решения при $a=-\dfrac34$. Получаем $f(x)=-\dfrac74x^2-\dfrac32x+\dfrac{13}{4}$ с корнями $x=1$ и $x=-\dfrac{13}{7}$; старший коэффициент отрицателен, значит $f(x)\le0$ при $x\le-\dfrac{13}{7}$ или $x\ge1$. Для $g(x)=-\dfrac34x^2+\dfrac12x+\dfrac14$ корни $x=1$ и $x=-\dfrac13$; старший коэффициент отрицателен, значит $g(x)\ge0$ при $-\dfrac13\le x\le1$. Пересечение: часть $x\ge1$ пересекается с $x\le1$ ровно в точке $x=1$; часть $x\le-\dfrac{13}{7}$ не пересекается с $-\dfrac13\le x\le1$. Итог — единственная точка $x=1$, значит $a=-\dfrac34$ подходит.

Шаг 3. Ищем второй тип критического значения — вырождение одного из неравенств через дискриминант. Для $f(x)$: $D_f/4=a^2-(a-1)(a+4)=4-3a$. При $D_f=0$ получаем $a=\dfrac43$. Тогда старший коэффициент $a-1=\dfrac13>0$, значит $f(x)\ge0$ всюду и равен 0 только в вершине $x_0=-\dfrac{a}{a-1}=-4$ — неравенство $f(x)\le0$ имеет ровно одно решение.

Шаг 4. Проверяем, что эта точка попадает во второе множество: $g(-4)=\dfrac43\cdot16+2\cdot\dfrac73\cdot(-4)+\dfrac73=\dfrac{64}{3}-\dfrac{56}{3}+\dfrac73=5\ge0$ — условие выполняется, значит при $a=\dfrac43$ система тоже имеет единственное решение $x=-4$. Аналогичная проверка для $D_g=0$ (при $a=-1$) показывает, что полученная точка не удовлетворяет первому неравенству, поэтому это значение не входит в ответ. Итог: $a=-\dfrac34,\ a=\dfrac43$.

Пример 2. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система $$\begin{cases}x^2-2x+|y|-15=0,\\ x^2+(y-a)(y+a)=2\left(x-\dfrac12\right)\end{cases}$$ имеет ровно 6 решений.

Шаг 1. Преобразуем оба уравнения. Первое: $(x-1)^2+|y|=16$. Второе: $x^2+y^2-a^2=2x-1$, то есть $(x-1)^2+y^2=a^2$ — окружность с центром $(1,0)$ и радиусом $|a|$.

Шаг 2. Первое уравнение задаёт кривую, симметричную относительно оси $Ox$: при $y\ge0$ это парабола $y=16-(x-1)^2$ (вершина $(1,16)$), при $y\le0$ — парабола $y=(x-1)^2-16$ (вершина $(1,-16)$). Ветви встречаются на оси $Ox$ там, где $(x-1)^2=16$, то есть при $x=-3$ и $x=5$.

Шаг 3. Введём $u=(x-1)^2\in[0,16]$. Тогда $|y|=16-u$, и квадрат расстояния от точки кривой до центра окружности $(1,0)$ равен $r^2=u+(16-u)^2=u^2-31u+256=h(u)$.

Шаг 4. Исследуем $h(u)$ на $[0,16]$: $h(0)=256$, $h(16)=16$, минимум при $u=15{,}5$ равен $h(15{,}5)=15{,}75$. Значит, $h$ убывает от 256 до 15,75 на $[0;15{,}5]$ и слегка возрастает от 15,75 до 16 на $[15{,}5;16]$.

Шаг 5. Переводим число решений $u$ уравнения $h(u)=a^2$ в число точек $(x,y)$: каждому $u\in(0,16)$ отвечают два значения $x=1\pm\sqrt u$, и для каждого — две точки по $y$, итого 4 точки; значению $u=0$ отвечает одна $x=1$, но две точки по $y$ (2 точки); значению $u=16$ отвечают два $x$ ($-3$ и $5$), но $y=0$ у обоих (2 точки без удвоения).

Шаг 6. Проверим $a^2=16$: уравнение $h(u)=16$ равносильно $u^2-31u+240=0$, корни $u=15$ и $u=16$. Значение $u=15\in(0,16)$ даёт 4 точки, $u=16$ (граничное) даёт ещё 2 точки. Итого ровно 6 решений. Проверка соседних случаев показывает, что при $15{,}75<a^2<16$ получается 8 решений, а при $16<a^2<256$ — только 4; значит ровно 6 решений возможно только при $a^2=16$, откуда $a=-4$ или $a=4$.

Типичные ошибки

• Забывать про вырожденный случай, когда старший коэффициент квадратного трёхчлена обращается в 0 при определённом значении параметра — уравнение становится линейным, и формулы с дискриминантом не применимы.
• Находить точку, где значения двух выражений совпадают, и сразу считать её решением задачи, не проверив, что рядом с ней действительно нет других общих решений.
• При работе с модулем и симметричными кривыми терять контроль над кратностью: считать точки на оси симметрии как две, хотя там $y=0$ и точка одна, либо забывать удвоить точки вне оси.
• Ошибаться в направлении неравенства при делении на выражение, зависящее от знака параметра, вместо анализа знака старшего коэффициента.
• Не проверять найденные значения параметра подстановкой обратно в систему — только это гарантирует, что условие задачи (например, «ровно 6 решений») действительно выполнено.
• Ограничиваться только одним механизмом получения критического значения (например, только дискриминантом), забывая, что нужное число решений может достигаться и через совпадение границ разных множеств.

На что обратить внимание на экзамене

Перед началом решения обязательно приведите оба уравнения или неравенства к максимально узнаваемому виду — выделите полный квадрат, увидьте окружность, параболу или трёхчлен явно. Ищите симметрию: если конструкция симметрична относительно оси или точки, число решений считается через анализ «половины» картинки с последующим удвоением, а точки на самой оси симметрии учитываются один раз. Всегда выделяйте и отдельно проверяйте вырожденные случаи параметра (когда коэффициент при старшей степени обращается в 0) — даже если они не войдут в ответ, их разбор показывает полноту решения. Держите в голове два основных источника критических значений параметра в задачах на «единственное решение»: обнуление дискриминанта одного из трёхчленов и совпадение значений выражений в одной и той же точке. После получения ответа обязательно сделайте контрольную подстановку хотя бы для одного значения параметра — это самый надёжный способ убедиться, что не было потери или добавления лишних корней при преобразованиях.