Задание 17: Планиметрическая задача

Типичная структура: дан треугольник или четырёхугольник (часто трапеция), в нём проведены дополнительные линии — биссектриса, медиана, касательная, вписанная или описанная окружность. Пункт а) формулируется как «докажите, что…», пункт б) — «найдите…», причём вычисление обычно опирается на факт из пункта а).

Задание оценивается в 3 первичных балла:

• 3 балла — оба пункта решены верно и полностью обоснованы;
• 2 балла — доказательство пункта а) верно, ответ пункта б) верный, но есть небольшие пробелы (или наоборот); …

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2:1$ от вершины; длина медианы $m_a=\dfrac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$.
• Биссектриса угла делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: $\dfrac{BM}{MC}=\dfrac{AB}{AC}$.
• Инцентр делит биссектрису из вершины $A$ в отношении $AI:IM=(AB+AC):BC$.
• Радиус вписанной окружности треугольника: $r=\dfrac{S}{p}$, где $p$ — полупериметр.
• Радиус описанной окружности: $R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{a}{2\sin A}$.
• Теорема косинусов: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
• Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
• Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду с другой стороны.
• Теорема о произведении отрезков хорд/секущих/касательной: $PA\cdot PB=PC\cdot PD$.
• Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна $180^\circ$.
• Четырёхугольник описан около окружности тогда и только тогда, когда $a+c=b+d$.
• Теорема Птолемея: $AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$.
• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
• Площадь: $S=\dfrac12ab\sin C$; формула Герона $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

1. Внимательно прочитать условие и сделать крупный аккуратный чертёж со всеми точками и отрезками.
2. Выписать все числовые данные рядом с чертежом.
3. Определить тип фигуры и применимые теоремы (вписанные углы, касательные, подобие, биссектрисы).
4. В пункте а) выстроить цепочку равенств углов или отрезков — строгое логическое доказательство.
5. В пункте б) выразить искомую величину через установленные соотношения и решить уравнение.
6. Проверить результат на правдоподобность: положительность длин, неравенство треугольника, соответствие чертежу.
7. Оформить решение по пунктам а) и б) с ссылками на использованные теоремы.