Марафон: задание 17

В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ  =  6; ВС  =  5; АС  =  9.

а)  Докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам.

б)  Пусть Р  — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M  — середина стороны AB.

а)  Докажите, что

б)  Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC  =  10, BC  =  32 и ∠ACB  =  30°.

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.

а)  Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.

б)  Найдите радиус этой окружности, если AB  =  12, CH  =  5.

В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E  —  на отрезке AB.

а)  Докажите, что FH  =  2DH.

б)  Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB  =  4.

Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

а)  Докажите, что ∠AHB₁ = ∠ACB.

б)  Найдите BC, если AH  =  4 и ∠BAC  =  60°.

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.

а)  Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.

б)  Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH  =  2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC  =  3MB.

а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б)  Найдите сумму квадратов медиан AA₁ и CC₁, если известно, что AC  =  10.

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A₂, B₂ и C₂  — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.

а)  Докажите, что площадь шестиугольника A₁B₂C₁A₂B₁C₂ вдвое меньше площади треугольника ABC.

б)  Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB  =  4, BC  =  7 и AC  =  8.

Все четыре треугольника, заштрихованные на рисунке, равновелики.

а)  Докажите, что все три четырехугольника, не заштрихованные на нем, тоже равновелики.

б)  Найдите площадь одного четырехугольника, если площадь одного заштрихованного треугольника равна 1.

Прямая, параллельная гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, пересекает катет  АС в точке  D, катет  BC  — в точке E, причем DE  =  2 и BE  =  1. На гипотенузе взята точка F так, что BF  =  1, величина угла FCB равна 30°.

а)  Докажите, что треугольник BFE равносторонний.

б)  Найдите площадь треугольника ABC.

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.

а)  Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны.

б)  Найдите отношение ЕН : АС, если угол АВС равен 30°.

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N  — середины катетов АС и ВС соответственно, СН  — высота.

а)  Докажите, что прямые МН и NH перпендикулярны.

б)  Пусть Р  — точка пересечения прямых АС и NH, а Q  — точка пересечения прямых BC и МН. Найдите площадь треугольника PQM, если АН  =  4 и ВН  =  2.

На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отмечена точка D так, что AD  =  AB. Прямая, проходящая через точку А, параллельно BD, пересекает сторону ВС в точке M.

а)  Докажите, что AM  — биссектриса треугольника АВС.

б)  Найти S_AMBD, если AC  =  30, BC  =  18 и AB  =  24.

На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а)  Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б)  Известно, что В каком отношении прямая DL делит сторону AB?

В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N  — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.

а)  Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.

б)  Найдите отношение площадей этих треугольников, если

Точки B₁ и C₁ лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причём AB₁ : B₁C  =  AC₁ : C₁B. Прямые BB₁ и CC₁ пересекаются в точке O.

а)  Докажите, что прямая AO делит пополам сторону BC.

б)  Найдите отношение площади четырёхугольника AB₁OC₁ к площади треугольника ABC, если известно, что AB₁ : B₁C  =  AC₁ : C₁B  =  1 : 4.

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M  — середина гипотенузы AB, H  — точка пересечения прямых CM и DK.

а)  Докажите, что CMDK.

б)  Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312.

Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC  =  1 : 2.

а)  Докажите, что

б)  Пусть прямые MK и BC пресекаются в точке P, а прямые AP и BK  — в точке Q. Найдите KQ, если BC  =  

В треугольник ABC, в котором длина стороны AC меньше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B₁ симметрична точке B относительно CO.

а)  Докажите, что A, B, O и B₁ лежат на одной окружности.

б)  Найдите площадь четырёхугольника AOBB₁, если AB  =  10, AC  =  6 и BC  =  8.

В треугольнике ABC угол ABC тупой, H  — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.

а)  Докажите, что угол ABC равен 120°.

б)  Найдите BH, если и