Задание 16: Финансовая математика

Типовые формулировки:

• «Вклад под $r\%$ годовых, через год сняли/внесли сумму, найдите итоговый результат»;
• «Кредит на $n$ лет под $r\%$, платежи вносятся равными долями/аннуитетом — найти сумму переплаты или размер платежа»;
• «Два вкладчика действовали по-разному — кто получит больше и на сколько»;
• «При каком банке (ставке, схеме) выгоднее взять кредит/открыть вклад».

Задание оценивается в 2 первичных балла. Ответ — число (обычно целое, в рублях). Требуется полное решение с обоснованием, частичное решение может принести 1 балл при верной идее, но ошибке в расчётах.

• Формула сложных процентов за $n$ лет без операций: $S_n = S_0\left(1+\dfrac{r}{100}\right)^n$.
• Начисление процентов за один год: $S_{k+1} = S_k\left(1+\dfrac{r}{100}\right)$, где $S_k$ — сумма на начало года.
• Если после начисления процентов происходит снятие суммы $A$: $S_{k+1} = S_k\left(1+\dfrac{r}{100}\right) - A$.
• Если после начисления процентов происходит довнесение суммы $A$: $S_{k+1} = S_k\left(1+\dfrac{r}{100}\right) + A$.
• Если снимается процент $p\%$ от текущей суммы: $S_{k+1} = S_k\left(1+\dfrac{r}{100}\right)\left(1-\dfrac{p}{100}\right)$.
• Аннуитетный платёж (равные платежи весь срок) при кредите $S_0$ на $n$ лет под $r\%$: $X = S_0 \cdot \dfrac{q^n(q-1)}{q^n-1}$, где $q = 1+\dfrac{r}{100}$.
• Дифференцированный платёж: основной долг делится на $n$ равных частей $\dfrac{S_0}{n}$, а проценты каждый год начисляются на остаток долга.
• Общая переплата по кредиту = сумма всех платежей минус тело кредита $S_0$.
• При сравнении вариантов («кто выгоднее») удобно вычислять разницу итоговых сумм, а не каждую сумму по отдельности — часто общий множитель $S_0$ сокращается.

1. Определить, что известно: начальная сумма (или её отсутствие), ставка, сроки, порядок операций (что происходит раньше — начисление процентов или снятие/внесение).
2. Ввести переменную для начальной суммы, если она не задана явно (часто буквой $S_0$).
3. Построчно, год за годом, записать формулу для суммы на счёте: сначала применить коэффициент $(1+r/100)$, затем учесть операцию (снятие, внесение, платёж).
4. Если задача сравнительная — построить обе цепочки символьно и вычесть их, чтобы избавиться от общих слагаемых или множителей.
5. Подставить числовые значения и последовательно вычислить итоговую сумму (или разницу сумм).
6. Проверить знак ответа — соответствует ли направление разницы условию задачи (кто больше, на сколько меньше и т.д.).
7. Округлить ответ до требуемой точности (обычно до целого рубля) и сверить с условием задачи (единицы измерения, формулировка вопроса).