Задание 15: Неравенства

Типичная формулировка: «Решите неравенство …». Ответ — множество значений $x$, чаще всего объединение промежутков.

Задание оценивается в 2 первичных балла:

• 2 балла — верное, полностью обоснованное решение и верный ответ;
• 1 балл — решение в целом верное (выбран правильный метод), но допущена ошибка на одном из равносильных переходов, не искажающая логику решения, или потеряны отдельные точки на границе;
• 0 баллов — неверный метод, грубые ошибки в переходах или неверный ответ без обоснования.

• Свойства степени: $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$, $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$, $(a^{m})^{n}=a^{mn}$, $a^{0}=1$ при $a\ne0$.
• Монотонность показательной функции: при $a>1$ функция $a^{x}$ возрастает, при $0<a<1$ — убывает.
• Свойства логарифма (при $x>0,\ y>0,\ a>0,\ a\ne1$): $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$, $\log_a x^{k}=k\log_a x$, $\log_a x=\dfrac{\log_c x}{\log_c a}$.
• Монотонность логарифма: при $a>1$ функция $\log_a x$ возрастает, при $0<a<1$ — убывает. Отсюда при $a>1$: $\log_a f<\log_a g \iff f<g$; при $0<a<1$: $\log_a f<\log_a g \iff f>g$ (знак переворачивается).
• Таблица рационализации: знак $\log_{h(x)}f(x)-\log_{h(x)}g(x)$ совпадает со знаком $(h(x)-1)\,(f(x)-g(x))$ на ОДЗ; знак $a^{f(x)}-a^{g(x)}$ совпадает со знаком $(a-1)(f(x)-g(x))$.
• ОДЗ: под корнем чётной степени — выражение $\ge0$; знаменатель дроби $\ne0$; аргумент логарифма $>0$; основание логарифма $>0$ и $\ne1$.
• Определение модуля: $|x|=x$ при $x\ge0$ и $|x|=-x$ при $x<0$; важно помнить, что $\sqrt{(f(x))^{2}}=|f(x)|$, а не $f(x)$.
• Равносильные переходы с корнями: $$\sqrt{f(x)}<g(x)\iff\begin{cases}f(x)\ge0,\\ g(x)>0,\\ f(x)<g^{2}(x);\end{cases}\qquad \sqrt{f(x)}\ge \sqrt{g(x)}\iff \begin{cases}g(x)\ge0,\\ f(x)\ge g(x).\end{cases}$$
• Обобщённый метод интервалов: при переходе через корень чётной кратности знак не меняется, через корень нечётной кратности — меняется.

1. Найти ОДЗ переменной (корни, знаменатели, основания и аргументы логарифмов).
2. Привести все логарифмы к одному основанию или объединить их по свойствам суммы/разности; аналогично для степеней — привести к одному основанию.
3. Определить, является ли основание постоянным или переменным, больше или меньше единицы — от этого зависит, нужно ли менять знак неравенства или применять рационализацию.
4. Свести неравенство к рациональному (через замену переменной, рационализацию или возведение в степень с системой условий).
5. Разложить получившееся выражение на множители и решить методом интервалов, учитывая кратность корней.
6. Пересечь найденное решение с ОДЗ.
7. Записать ответ как объединение промежутков, проверить контрольные точки подстановкой в исходное неравенство.