Задание 14: Стереометрическая задача

Стандартная структура условия: задаётся многогранник или комбинация фигур (призма, пирамида, куб, цилиндр, конус, шар или их сочетание), указываются длины рёбер, углы или отношения отрезков. Далее:

• пункт а) — «докажите, что...» (сечение — трапеция/параллелограмм, угол больше/меньше другого, точка — середина отрезка, прямые перпендикулярны и т.п.);
• пункт б) — «найдите...» (расстояние между прямыми, от точки до плоскости, угол между плоскостями, объём части фигуры, площадь сечения).

…

• Объём призмы: $V = S_{осн} \cdot h$.
• Объём пирамиды: $V = \dfrac{1}{3} S_{осн} \cdot h$.
• Объём цилиндра: $V = \pi R^2 h$; объём конуса: $V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h$; объём шара: $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$.
• Расстояние от точки до плоскости через объём: если известен объём пирамиды с этой точкой как вершиной, то $h = \dfrac{3V}{S_{осн}}$.
• Расстояние между скрещивающимися прямыми через векторы: $\rho = \dfrac{|(\vec{AB}, \vec{u}, \vec{v})|}{|\vec{u}\times\vec{v}|}$, где $\vec u, \vec v$ — направляющие векторы прямых, $A, B$ — точки на них.
• Угол между плоскостями через нормали: $\cos\varphi = \dfrac{|\vec n_1\cdot \vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$.
• Угол между прямой и плоскостью: $\sin\varphi = \dfrac{|\vec s\cdot \vec n|}{|\vec s||\vec n|}$, где $\vec s$ — направляющий вектор прямой, $\vec n$ — нормаль плоскости.
• Угол между скрещивающимися прямыми: $\cos\varphi = \dfrac{|\vec u\cdot \vec v|}{|\vec u||\vec v|}$.
• Теорема косинусов: $c^2 = a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ — используется для нахождения сторон сечений и оснований.
• Теорема о трёх перпендикулярах: если наклонная проецируется на плоскость, и проекция перпендикулярна прямой в этой плоскости, то и сама наклонная ей перпендикулярна.
• Площадь трапеции: $S = \dfrac{a+b}{2}\cdot h$; площадь правильного шестиугольника со стороной $a$: $S = \dfrac{3\sqrt3}{2}a^2$.
• Диагональ и апофема правильных многоугольников, свойства правильных пирамид (вершина проецируется в центр основания) и правильных призм.

1. Внимательно прочитать условие, выписать все данные (длины рёбер, углы, отношения), сделать аккуратный чертёж от руки.
2. Определить тип искомой величины: расстояние, угол, объём или площадь сечения — от этого зависит набор формул.
3. Решить пункт а): найти геометрический факт (параллельность, перпендикулярность, вид сечения), опираясь на симметрию фигуры и свойства правильных многогранников. Доказательство оформить полными фразами со ссылками на теоремы.
4. Выбрать метод вычисления для пункта б): если фигура правильная и удобно вводится система координат — использовать координатный метод; если структура проще через объём или классические перпендикуляры — синтетический метод.
5. Провести вычисления, при необходимости дополнительно построить сечение или перпендикуляр, найденный в пункте а) использовать как готовый инструмент. …