ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 14Марафон

Марафон: задание 14

538 задач подряд, по 20 на странице. Цель — довести до автоматизма. Прогресс сохраняется в браузере (в аккаунте — и в карте пробелов).

Страница 1 из 27 · задачи 1–20 из 538

⏱ 00:00:000 из 20 заполнено

Задание 14
Дана прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁, двугранный угол призмы при ребре AA₁ равен 60°.
а)  Докажите, что угол BA₁C₁ больше угла BAC.
б)  Расстояние между боковыми ребрами AA₁ и BB₁ равно 5, а расстояние между боковыми ребрами AA₁ и CC₁ равно 8. Найдите расстояние от прямой AA₁ до плоскости BC₁C.
Задание 14
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна $2 корень из 3 ,$ а высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N  — середины рёбер CD и AB соответственно, а NT  — высота пирамиды NSCD с вершиной N и основанием SCD.
а)  Докажите, что точка T является серединой SM.
б)  Найдите расстояние между NT и SC.
Задание 14
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 1.
а)  Докажите, что расстояние между прямыми AA₁ и BC₁ равно расстоянию между прямой $AA_1$ и плоскостью $BCC_1.$
б)  Найдите это расстояние.
Задание 14
Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC₁A₁ является квадратом.
а)  Докажите, что прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние между прямыми CA₁ и AB₁, если AC  =  4, BC  =  7.
Задание 14
Расстояние между боковыми ребрами AA₁ и BB₁ прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равно 5, а расстояние между боковыми ребрами AA₁ и CC₁ равно 8. Двугранный угол призмы при ребре AA₁ равен 60°.
а)  Докажите, что расстояние между боковыми ребрами BB₁ и CC₁ равно 7.
б)  Найдите расстояние от прямой AA₁ до плоскости BC₁C.
Задание 14
В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания ABCD равна 12, боковое ребро PA ― $12 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Через вершину A проведена плоскость α, перпендикулярная прямой PC и пересекающая ребро PC в точке K.
а)  Докажите, что плоскость α делит высоту PH пирамиды PABCD в отношении 2 : 1, считая от вершины P.
б)  Найдите расстояние между прямыми PH и BK.
Задание 14
Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, все рёбра основания которой равны $2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$ Сечение, проходящее через боковое ребро AA₁ и середину M ребра B₁C₁, является квадратом.
а)  Докажите, что расстояние между прямыми A₁B и AM равно длине перпендикуляра, опущенного из центра этого квадрата на прямую $A_1B.$
б)  Найдите это расстояние.
Задание 14
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 6.
а)  Докажите, что угол между прямыми AC и BC₁ равен 60°.
б)  Найдите расстояние между прямыми AC и BC₁.
Задание 14
Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, все ребра основания которой равны 2. Сечение, проходящее через боковое ребро AA₁ и середину M ребра B₁C₁, является квадратом.
а)  Докажите, что расстояние между прямыми A₁B и AM равно длине перпендикуляра, опущенного из центра этого квадрата на прямую $A_1B.$
б)  Найдите это расстояние.
Задание 14
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра равны 1. На продолжении отрезка A₁C₁ за точку C₁ отмечена точка M так, что A₁C₁  =  C₁M, а на продолжении отрезка B₁C за точку C отмечена точка N так, что B₁C  =  CN.
а)  Докажите, что MN  =  MB₁.
б)  Найдите расстояние между прямыми B₁C₁ и MN.
Задание 14
Дана пирамида SABC, в которой $SC=SB=AB=AC= корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента ,$ $SA=BC=2 корень из 5 .$
а)  Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.
б)  Найдите расстояние между ребрами BC и SA.
Задание 14
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 2. Точка M  — середина ребра AA₁.
а)  Докажите, что прямые MB и B₁C перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние между прямыми MB и B₁C.
Задание 14
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 9, а боковое ребро SA  =  6. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB  =  SM : MC  =  2 : 7. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой SA.
а)  Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 2 : 7, считая от вершины S.
б)  Найдите расстояние между прямыми SA и KM.
Задание 14
Дан правильный тетраэдр MABC с ребром 1.
а)  Докажите, что $CM\perp AB.$
б)  Найдите расстояние между прямыми AL и MO, где L  — середина ребра MC, O  — центр грани ABC.
Задание 14
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA  =  8. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC  =  SK : KC  =  1 : 3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
а)  Докажите, что плоскость α делит ребро AB в отношении 1 : 3, считая от вершины A.
б)  Найдите расстояние между прямыми SA и KN.
Задание 14
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB  =  5, AA₁  =  5, AD  =  3.
а)  Докажите, что прямые A₁B и B₁D перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние между прямыми A₁B и B₁D.
Задание 14
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка O₁  — центр квадрата ABCD, точка O₂  — центр квадрата CC₁D₁D.
а)  Докажите, что прямые A₁O₁ и B₁O₂ скрещиваются.
б)  Найдите расстояние между прямыми A₁O₁ и B₁O₂, если ребро куба равно 1.
Задание 14
В правильном тетраэдре MNPQ через биссектрисы NA и QB граней MNP и QNP проведены параллельные плоскости.
а)  Найдите отношение суммы объемов отсекаемых от MNPQ тетраэдров к объему MNPQ
б)  Найдите расстояние между NA и QB, если ребро тетраэдра равно 1.
Задание 14
В правильном тетраэдре ABCD точка К  — середина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и EC : ED  =  1 : 2.
а)  Найдите угол между прямыми ВС и КЕ.
б)  Найдите расстояние между прямыми ВС и КЕ, если ребро тетраэдра равно $корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$
Задание 14
В правильной шестиугольной призме АВСDEFА₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1.
а)  Докажите, что точки F и С равноудалены от плоскости ВЕD₁.
б)  Найдите расстояние между прямыми ЕD₁ и FE₁.