Задание 13: Уравнения

Стандартная формулировка состоит из двух пунктов:

• а) Решите уравнение (общее решение, часто с параметром $k\in\mathbb{Z}$, если уравнение тригонометрическое).
• б) Найдите (или укажите) корни, принадлежащие заданному отрезку или интервалу.

За задание можно получить максимум 2 балла:

• 2 балла — оба пункта верны, с обоснованным решением;
• 1 балл — верно решён только пункт а) (без ошибок в вычислениях, но без отбора или с ошибкой в отборе), либо получен верный ответ в пункте б) при наличии вычислительной ошибки в пункте а), не влияющей на итоговый отбор; …

• Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2x+\cos^2x=1$, $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$.
• Формулы двойного угла: $\sin2x=2\sin x\cos x$, $\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$.
• Простейшие тригонометрические уравнения: $\sin x=a\Rightarrow x=(-1)^n\arcsin a+\pi n$; $\cos x=a\Rightarrow x=\pm\arccos a+2\pi n$; $\tan x=a\Rightarrow x=\arctan a+\pi n$.
• Свойства степеней: $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$, $a^{mn}=(a^m)^n$, $a^x>0$ для любого $x$ при $a>0$.
• Свойства логарифмов: $\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$ (при $x,y>0$), $\log_a x^n=n\log_a x$ (с учётом чётности $n$), ОДЗ логарифма: аргумент $>0$, основание $>0$, основание $\neq1$.
• Иррациональные уравнения: $\sqrt{f(x)}=g(x)\iff \begin{cases}f(x)=g(x)^2\\ g(x)\geq0\end{cases}$; при возведении в квадрат корни могут появляться посторонние — проверка обязательна.
• Уравнение под корнем чётной степени или в знаменателе всегда требует ОДЗ: подкоренное выражение $\geq0$ (или $>0$, если корень в знаменателе), знаменатель $\neq0$.
• Однородное тригонометрическое уравнение вида $a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0$ решается делением на $\cos^2x$ (при условии $\cos x\neq0$, что проверяется отдельно).
• Приближённые значения для отбора корней: $\pi\approx3.14$, $\sqrt2\approx1.41$, $\sqrt3\approx1.73$, $\sqrt{10}\approx3.16$; для логарифмов удобно оценивать через степени: $\log_39\approx2$, значит $\log_35$ между $1$ и $2$.

1. Найти ОДЗ уравнения: учесть знаменатели, подкоренные выражения, аргументы логарифмов, области определения $\tan x$, $\cot x$.
2. Привести уравнение к удобному виду: раскрыть формулы (двойного угла, свойства степеней/логарифмов), перенести всё в одну часть.
3. Сделать замену переменной, если уравнение сводится к квадратному или другому стандартному виду; указать ограничение на новую переменную (например, $t>0$ для показательных).
4. Решить полученное уравнение относительно новой переменной, затем вернуться к исходной.
5. Проверить каждый корень по ОДЗ — отбросить посторонние решения.
6. Выполнить обратную замену и получить общий ответ пункта а) (с параметром $k\in\mathbb{Z}$ для тригонометрии). …