Задание 12: Наибольшее и наименьшее значение функций

Типичные формулировки:

• «Найдите точку максимума (минимума) функции $y=f(x)$»;
• «Найдите наибольшее (наименьшее) значение функции $y=f(x)$»;
• «Найдите наибольшее значение функции на отрезке $[a;b]$».

Задание относится к части с кратким ответом, оценивается 1 баллом. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Ошибка в знаке или в выборе точки (максимум вместо минимума) засчитывается как неверный ответ полностью, промежуточных баллов нет.

• Точка максимума $x_0$ — точка, в которой $f(x_0)\ge f(x)$ для всех $x$ из некоторой окрестности; точка минимума — аналогично с $\le$.
• Наибольшее (наименьшее) значение функции — это значение $f(x_0)$ в соответствующей точке, а не сама точка $x_0$ — важно не путать, что спрашивается в вопросе.
• Квадратичная функция $y=ax^2+bx+c$ при $a>0$ имеет минимум, при $a<0$ — максимум в вершине параболы: $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.
• Функция $y=\sqrt{g(x)}$ монотонно связана с $g(x)$: где $g(x)$ имеет максимум/минимум, там и $y$ имеет максимум/минимум (при условии $g(x)\ge 0$).
• Функция $y=\dfrac{1}{g(x)}$ (при $g(x)>0$) достигает наибольшего значения там, где $g(x)$ минимально, и наоборот.
• Показательная функция $y=a^{g(x)}$ при $a>1$ монотонно возрастает с ростом $g(x)$; при $0<a<1$ — убывает.
• Логарифмическая функция $y=\log_a g(x)$ при $a>1$ возрастает вместе с $g(x)$; при $0<a<1$ — убывает.
• Тригонометрические функции $\sin x$ и $\cos x$ ограничены: $-1\le \sin x\le 1$, $-1\le \cos x\le 1$; экстремумы достигаются при известных значениях аргумента.
• Выделение полного квадрата: $ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+c-\dfrac{b^2}{4a}$ — базовый приём для быстрого поиска вершины параболы.
• Производная произведения: $(uv)'=u'v+uv'$; производная частного: $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.

1. Определить область определения функции (особенно важно для корней, логарифмов, дробей).
2. Посмотреть на структуру функции: квадратный трёхчлен под корнем/дробью, произведение, тригонометрическая или показательно-логарифмическая конструкция.
3. Если структура позволяет — применить метод без производной (выделение квадрата, оценка ограниченности, монотонность внешней функции).
4. Если структура сложная (явное произведение или частное разных типов функций) — найти производную, решить уравнение $f'(x)=0$.
5. Определить знаки производной слева и справа от каждой критической точки, сделать вывод о типе экстремума (максимум/минимум).
6. Внимательно прочитать вопрос: спрашивается точка экстремума ($x_0$) или значение функции ($f(x_0)$) — записать именно то, что требуется.
7. Проверить полученный ответ подстановкой в исходную функцию, если это не отнимает много времени.