Задание 11: Графики функций

Типичная формулировка: «На рисунке изображён график функции $f(x)=kx+b$ (или другой вид). Найдите $f(x_0)$» или «Найдите значение $x$, при котором $f(x)=y_0$», а также «Найдите абсциссу (ординату) точки пересечения графиков».

Особенности:

• всегда прилагается рисунок с координатной сеткой, по клеткам которой считываются координаты точек;
• ответ — целое число или конечная десятичная дробь;
• задание оценивается в 1 первичный балл;
• ошибка в счёте клеток на графике — самая частая причина потери балла, поэтому важна аккуратность.

• Линейная функция: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (тангенс угла наклона), $b$ — ордината точки пересечения с осью $Oy$.
• Формула углового коэффициента по двум точкам: $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
• Квадратичная функция: $y = ax^2 + bx + c$, вершина параболы $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$, $y_0 = f(x_0)$.
• Гипербола: $y = \dfrac{k}{x} + b$ или $y = \dfrac{k}{x-a} + b$; асимптоты $x=a$, $y=b$.
• Функция корня: $y = \sqrt{x}$, область определения $x \ge 0$, монотонно возрастает.
• Тригонометрические функции: $y = A\sin(\omega x + \varphi) + D$, $y = A\cos(\omega x + \varphi) + D$; амплитуда $A$, период $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$, сдвиг по вертикали $D$.
• Показательная функция: $y = a^x$ ($a>0,\ a\ne 1$), проходит через точку $(0;1)$, асимптота $y=0$.
• Логарифмическая функция: $y = \log_a x$, проходит через точку $(1;0)$, асимптота $x=0$; обратна показательной.
• Преобразования графиков: сдвиг на $c$ по оси $Ox$ — замена $x \to x-c$; сдвиг по $Oy$ на $d$ — прибавление $d$; растяжение/сжатие — коэффициент перед $x$ или перед функцией; отражение — знак минус.

1. Определить вид функции по общей форме графика (прямая, парабола, гипербола, синусоида, экспонента, логарифм).
2. Выписать общий вид функции с параметрами, которые нужно найти.
3. Считать по клеткам координаты 2–3 характерных точек графика (пересечения с осями, вершину, экстремумы, асимптоты).
4. Подставить координаты в общую формулу и решить систему уравнений относительно параметров.
5. Записать окончательную формулу функции.
6. Подставить в неё нужное значение аргумента (или решить уравнение относительно $x$, если дано значение функции).
7. Проверить ответ, подставив обратно в формулу или сверив с графиком по клеткам.