Задание 10: Текстовые задачи

Задача даётся в виде небольшого текста с конкретными числовыми данными (проценты, расстояния, время, объёмы). Требуется найти одно число — ответ записывается без единиц измерения, если не сказано иное. Задание оценивается в 1 балл, засчитывается только полностью верный числовой ответ, часть решения не оценивается. Обычно задача решается за 3-5 минут при знании схемы.

• Изменение величины на $p\%$: новое значение $a\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$ при увеличении, $a\left(1-\dfrac{p}{100}\right)$ при уменьшении.
• Последовательные изменения на $p_1\%$, затем на $p_2\%$: итог $a\left(1+\dfrac{p_1}{100}\right)\left(1+\dfrac{p_2}{100}\right)$ (проценты не складываются напрямую).
• Концентрация вещества в растворе/сплаве: $C=\dfrac{m_{в}}{m_{р}}\cdot 100\%$, где $m_в$ — масса вещества, $m_р$ — масса всего раствора.
• При смешивании сплавов сохраняется суммарная масса каждого вещества: $m_1C_1+m_2C_2=(m_1+m_2)C$.
• Основное уравнение движения: $S=vt$, отсюда $v=\dfrac{S}{t}$, $t=\dfrac{S}{v}$.
• Встречное движение (сближение): $v_{сбл}=v_1+v_2$, время встречи $t=\dfrac{S}{v_1+v_2}$.
• Движение в одном направлении (догон): $v_{сбл}=|v_1-v_2|$, $t=\dfrac{S}{|v_1-v_2|}$.
• Движение по окружности длиной $L$: время первой встречи при движении в разные стороны $t=\dfrac{L}{v_1+v_2}$, в одну сторону $t=\dfrac{L}{|v_1-v_2|}$.
• Движение по воде: скорость по течению $v+v_т$, против течения $v-v_т$, где $v$ — собственная скорость, $v_т$ — скорость течения.
• Производительность (работа за единицу времени) при выполнении всей работы за время $t$: $\dfrac{1}{t}$. Совместная работа: $\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}=\dfrac{1}{t}$, где $t$ — время совместного выполнения.
• Арифметическая прогрессия: $a_n=a_1+(n-1)d$, сумма $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\,n$.
• Геометрическая прогрессия: $b_n=b_1q^{n-1}$, сумма $S_n=b_1\dfrac{q^n-1}{q-1}$ (при $q\neq1$).

1. Прочитать условие и определить тип задачи (проценты, движение, работа, прогрессия).
2. Выбрать неизвестную величину и обозначить её буквой (обычно то, что спрашивают, или удобная промежуточная величина).
3. Выразить все остальные величины из условия через эту переменную, используя формулы раздела «Что нужно знать».
4. Составить уравнение (или систему), опираясь на ключевое условие задачи — то, что связывает выраженные величины.
5. Решить уравнение, при необходимости отбросить посторонние или физически бессмысленные корни (отрицательное время, скорость больше 100% и т.п.).
6. Проверить, что найденное значение отвечает именно на поставленный вопрос — иногда нужно вычислить не $x$, а производную от него величину.
7. Записать окончательный ответ в требуемом виде (число, без единиц измерения, если не указано иное).