Задание 1: Планиметрия

Типичная формулировка: «В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = a$, $\sin A = m$. Найдите $AB$» (или $BC$, или $\cos A$, $\operatorname{tg}A$). Также встречаются формулировки про параллелограмм («найдите сторону/угол/диагональ»), трапецию («найдите основание/высоту»), окружность («найдите угол, дугу, радиус»).

Задание оценивается 1 первичным баллом. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, вводится без единиц измерения. Задание считается одним из самых простых в экзамене, поэтому ошибка здесь особенно обидна — нужно доводить решение до автоматизма.

Прямоугольный треугольник ($\angle C = 90^\circ$): $$\sin A=\frac{BC}{AB},\quad \cos A=\frac{AC}{AB},\quad \operatorname{tg}A=\frac{BC}{AC},\quad AB^2=AC^2+BC^2.$$ Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. Для острого угла оба значения положительны.

Равнобедренный треугольник: углы при основании равны; высота, медиана и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают и делят его пополам — это часто превращает задачу в прямоугольный треугольник.

Треугольник общего вида:

• теорема синусов: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$;
• теорема косинусов: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$;
• площадь: $S=\dfrac12ab\sin C$;
• сумма углов равна $180^\circ$.

Параллелограмм: противоположные стороны равны и параллельны, противоположные углы равны, сумма соседних углов равна $180^\circ$, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Площадь: $S=ab\sin\alpha$.

Трапеция: основания параллельны, сумма углов при боковой стороне равна $180^\circ$. Средняя линия: $m=\dfrac{a+b}{2}$, площадь $S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$.

Центральные и вписанные углы: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается: $\angle ACB=\dfrac12\smile AB$. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$.

Касательная, хорда, секущая:

• касательная перпендикулярна радиусу в точке касания;
• отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны;
• угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой внутри угла; …

1. Внимательно прочитать условие и определить фигуру (треугольник, параллелограмм, трапеция, окружность с хордами/касательными).
2. Если есть рисунок — сопоставить обозначения на рисунке с текстом, отметить, какой угол прямой, какая сторона гипотенуза/катет, какие дуги равны.
3. Выбрать подходящий факт или формулу: для прямоугольного треугольника — определения тригонометрических функций и теорему Пифагора; для окружности — теоремы о вписанном/центральном угле или произведения отрезков хорд/секущих; для параллелограмма и трапеции — свойства сторон и углов.
4. Если дана одна тригонометрическая функция, а нужна другая — использовать основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, учитывая знак (для острого угла всё положительно).
5. Составить уравнение и выразить искомую величину.
6. Подставить числа и вычислить, при необходимости упростить дробь. …