Задание 6 ЕГЭ база: выбор оптимального варианта из таблицы

Что проверяет задание

Задание 6 проверяет умение работать с табличными данными и делать осознанный выбор среди нескольких вариантов. По сути, это не про сложную математику, а про внимательность, логику и умение быстро отсеивать заведомо неподходящие комбинации. Проверяется способность:

• читать и понимать таблицу с несколькими столбцами данных (услуги, время, стоимость, состав);
• сопоставлять условие задачи (какие требования нужно выполнить) с данными таблицы;
• находить комбинацию объектов (переводчиков, экскурсий, билетов, товаров), которая одновременно удовлетворяет нескольким условиям — например, покрывает нужный набор "параметров" и укладывается в бюджет или лимит времени.

Задание часто называют "задачей на подбор оптимального варианта", хотя правильнее говорить о подборе подходящего варианта: обычно не требуется искать самый дешёвый или самый быстрый вариант из всех возможных — достаточно найти хотя бы один, который удовлетворяет всем условиям задачи.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка звучит так: дана таблица с объектами (людьми, экскурсиями, билетами, товарами), у каждого объекта есть один или несколько признаков (языки, достопримечательности, аттракционы) и числовая характеристика (стоимость, время). Нужно собрать набор объектов так, чтобы:

• вместе они покрывали определённый набор признаков (например, все четыре языка, все четыре аттракциона, не менее трёх достопримечательностей);
• суммарная числовая характеристика (стоимость, время) не превышала заданный лимит.

В ответе указывается набор номеров объектов — обычно в порядке возрастания, без пробелов и запятых. Задание оценивается в 1 первичный балл, относится к заданиям базового уровня сложности. Времени на него закладывается немного — 3–5 минут, при условии, что вы умеете быстро анализировать таблицу.

Что нужно знать

• Определение: комбинация — это набор из нескольких объектов (переводчиков, билетов, экскурсий), выбранных из таблицы.
• Суммарная стоимость набора из объектов со стоимостями $a_1, a_2, \dots, a_k$ считается по формуле: $$S = a_1 + a_2 + \dots + a_k$$
• Суммарное время набора считается аналогично: $$T = t_1 + t_2 + \dots + t_k$$
• Условие "объекты вместе покрывают набор признаков" означает, что объединение множеств признаков каждого объекта должно содержать все требуемые признаки. Если признаки объекта $i$ образуют множество $P_i$, а требуемый набор признаков — множество $Q$, условие записывается так: $$Q \subseteq P_1 \cup P_2 \cup \dots \cup P_k$$
• В задаче может требоваться не полное покрытие, а частичное — например, "не менее трёх из четырёх признаков", тогда достаточно, чтобы объединение содержало хотя бы 3 элемента из $Q$.
• Ограничение по бюджету или времени — это неравенство вида $S \le S_{max}$ или $T \le T_{max}$, где $S_{max}$, $T_{max}$ — заданные в условии числа.
• Важно: задача просит найти хотя бы один подходящий набор, а не все возможные и не единственно верный (кроме случаев, когда явно сказано "единственный набор").
• Один объект в таблице может содержать сразу несколько признаков (например, билет открывает доступ сразу к двум аттракционам) — это ключевая особенность, которая позволяет сократить число объектов в наборе и уложиться в бюджет.

Методы решения

Метод 1. Поиск "дешёвого" объекта с максимальным покрытием (для набора из четырёх/трёх признаков). Сначала ищут объекты, которые сразу закрывают два и более признака — они наиболее выгодны по стоимости на признак. Затем к ним подбирают недостающие признаки минимальным количеством дополнительных объектов. Мини-пример: если один билет даёт сразу два аттракциона за 400 рублей, а по отдельности эти аттракционы стоили бы 300+250=550 рублей, комбинированный билет выгоднее.

Метод 2. Перебор пар/троек с проверкой ограничения (выбор из двух-трёх возможных). Когда объектов немного (2–4), можно перебрать все сочетания вручную: выписать все пары, тройки и проверить, покрывают ли они нужные признаки и укладываются ли в бюджет/время. Это самый надёжный способ для простых случаев. Мини-пример: из трёх экскурсий с разными достопримечательностями достаточно проверить, есть ли пара, объединение признаков которой даёт три и более различных места.

Метод 3. Метод исключения заведомо невыгодных вариантов. Если объект дороже другого, но покрывает те же или меньше признаков — он исключается из рассмотрения сразу. Это сокращает число комбинаций для перебора. Мини-пример: если билет на аттракцион А стоит 300 рублей, а комбинированный билет на А и Б стоит 350 рублей, отдельный билет только на А брать невыгодно, если нужен ещё и Б.

Метод 4. Оценка "снизу" по сумме минимальных стоимостей. Для проверки, что дешевле собрать не получится, оценивают минимально возможную стоимость покрытия каждого признака отдельно и складывают эти минимумы. Если сумма минимумов уже превышает лимит — задача с таким набором признаков нерешаема, нужно искать другую комбинацию. Мини-пример: если самый дешёвый способ получить признак "немецкий язык" стоит 6000, а лимит всего 5000 — комбинацию, где нужен немецкий, собрать не получится в рамках лимита.

Метод 5. Работа с частичным покрытием ("не менее $n$ из $m$"). Когда не требуется охватить все признаки, а только часть, ищут наборы, где объединение множеств признаков содержит нужное количество элементов, даже если не все признаки совпадают. Здесь удобно сортировать объекты по числу признаков в порядке убывания и смотреть, какие пары дают наибольшее суммарное покрытие уникальных признаков. Мини-пример: если нужна хотя бы одна из трёх достопримечательностей плюс ещё две — достаточно взять экскурсию с двумя местами и добавить экскурсию с третьим.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитайте условие: выпишите, какие признаки (языки, аттракционы, достопримечательности) должны быть охвачены набором, и какое ограничение (бюджет, время) задано.
2. Изучите таблицу: для каждого объекта отметьте, какие признаки он закрывает, и его числовую характеристику (стоимость или время).
3. Найдите объекты с наибольшим числом нужных признаков — они самые "выгодные" кандидаты для основы набора.
4. Составьте предварительный набор из одного-двух таких объектов и проверьте, какие признаки ещё не покрыты.
5. Подберите дополнительные объекты для покрытия оставшихся признаков, стараясь минимизировать добавляемую стоимость/время.
6. Просуммируйте стоимость (или время) собранного набора и сравните с лимитом из условия.
7. Если лимит превышен — замените один из объектов на более дешёвую альтернативу или попробуйте другую комбинацию с шага 3.
8. Как только найден набор, который покрывает все требуемые признаки и укладывается в лимит, зафиксируйте номера объектов в порядке возрастания — это и есть ответ. Дальше искать другие варианты не нужно, если в условии не сказано, что решение единственно.

Разбор примеров

Пример 1. Нужно собрать группу переводчиков так, чтобы вместе они владели четырьмя языками: английский, немецкий, французский, испанский, а суммарная стоимость услуг не превышала 12 000 рублей в день.

Данные по переводчикам: 1 — немецкий, испанский, 7000 руб.; 2 — английский, немецкий, 6000 руб.; 3 — английский, 3000 руб.; 4 — английский, французский, 6000 руб.; 5 — французский, 2000 руб.; 6 — испанский, 4000 руб.

Шаг 1. Выпишем нужные признаки: $Q = \{$англ, нем, фр, исп$\}$.

Шаг 2. Ищем переводчиков с двумя языками сразу, они выгоднее по цене за признак: это №1 (нем+исп, 7000), №2 (англ+нем, 6000), №4 (англ+фр, 6000).

Шаг 3. Попробуем взять №1 (нем, исп) и добавить кого-то с английским и французским. Нужен переводчик, покрывающий оба оставшихся языка сразу, но такого нет — значит, потребуется минимум два дополнительных переводчика: с английским и с французским.

Шаг 4. Возьмём самых дешёвых из оставшихся: №3 (англ, 3000) и №5 (фр, 2000). Считаем сумму: $$S = 7000 + 3000 + 2000 = 12000$$ Это ровно укладывается в лимит 12 000 рублей. Набор: 1, 3, 5 → все четыре языка покрыты (нем+исп от №1, англ от №3, фр от №5), стоимость точно на границе лимита.

Шаг 5. Проверим альтернативу: №2 (англ+нем, 6000) + №5 (фр, 2000) + №6 (исп, 4000): $$S = 6000 + 2000 + 4000 = 12000$$ Тоже подходит: набор 2, 5, 6 покрывает англ+нем (№2), фр (№5), исп (№6) — все четыре языка, сумма равна лимиту.

Ответ: подходят оба набора — 135 или 256 (согласно условию, достаточно указать один из них).

Пример 2. Нужно подобрать экскурсионную программу так, чтобы турист посетил не менее трёх достопримечательностей за один день (ограничения по времени работы объектов нужно тоже учитывать, если бы они были критичны, но в этой задаче главное — число достопримечательностей).

Данные: 1 — Пушкин (1 место); 2 — Петергоф (1 место); 3 — Ораниенбаум (1 место); 4 — Пушкин, Павловск (2 места); 5 — Петергоф, Ораниенбаум (2 места); 6 — Пушкин, Петергоф (2 места).

Шаг 1. Так как одна экскурсия даёт максимум 2 места, а нужно минимум 3 различных достопримечательности, нужно скомбинировать минимум две экскурсии так, чтобы объединение их достопримечательностей давало не менее трёх уникальных названий.

Шаг 2. Проверим сочетание №1 (Пушкин) и №5 (Петергоф, Ораниенбаум): вместе — Пушкин, Петергоф, Ораниенбаум — три разных места. Условие выполнено.

Шаг 3. Проверим сочетание №2 (Петергоф) и №4 (Пушкин, Павловск): вместе — Петергоф, Пушкин, Павловск — тоже три места, тоже подходит.

Шаг 4. Обратим внимание: сочетание двух экскурсий с одинаковыми названиями (например, №1 и №6 — оба содержат Пушкин) даст пересечение, поэтому суммарно получится только 2 уникальных места (Пушкин, Петергоф) — такой вариант не подходит.

Шаг 5. Время работы объектов в этой задаче нужно проверять на непротиворечивость (например, чтобы обе экскурсии можно было совместить по времени работы), но в базовом варианте задания достаточно указать любую пару, дающую 3+ уникальных места и не противоречащую расписанию — таких пар несколько.

Ответ: подходят варианты 15 (или 51), 24 (или 42) — то есть комбинация экскурсии с одним местом и экскурсии с двумя разными местами.

Пример 3. Нужно подобрать набор билетов так, чтобы Михаил посетил все четыре аттракциона: колесо обозрения, комната страха, американские горки, автодром, а суммарная стоимость не превышала 800 рублей.

Данные: 1 — американские горки, 300; 2 — комната страха, американские горки, 400; 3 — автодром, американские горки, 350; 4 — колесо обозрения, 250; 5 — колесо обозрения, автодром, 300; 6 — автодром, 100.

Шаг 1. Нужные признаки: $Q = \{$горки, страх, автодром, колесо$\}$ — четыре аттракциона.

Шаг 2. Билет №2 сразу даёт два признака (комната страха + горки) за 400 руб. — это выгодная основа, так как единственный билет, где есть комната страха.

Шаг 3. После №2 остаются непокрытыми: автодром и колесо обозрения. Ищем дешёвый способ закрыть оба сразу — билет №5 даёт именно эту пару за 300 руб.

Шаг 4. Считаем сумму: $$S = 400 + 300 = 700$$ Это набор из двух билетов: 2 и 5, суммарная стоимость 700 рублей — меньше лимита 800 рублей, все четыре аттракциона покрыты.

Шаг 5. Проверим альтернативу с тремя билетами: №2 (400) + №4 (250, колесо) + №6 (100, автодром): $$S = 400 + 250 + 100 = 750$$ Тоже укладывается в лимит и покрывает все четыре аттракциона — набор 2, 4, 6.

Ответ: подходят разные наборы, например, 25 (два билета) или 246 (три билета) — оба варианта корректны согласно приведённому ответу.

Типичные ошибки и ловушки

• Игнорирование двойных признаков. Часто ученики забывают, что один объект может закрывать сразу два признака, и берут больше объектов, чем нужно, из-за чего превышают лимит по стоимости или времени.
• Поиск "самого дешёвого" решения там, где это не требуется. В большинстве формулировок достаточно найти любой подходящий набор — не нужно тратить время на доказательство, что это оптимальный (самый дешёвый) вариант, если условие этого явно не требует.
• Ошибки при подсчёте уникальных признаков. Если два объекта частично пересекаются по признакам (например, оба содержат "Пушкин"), нужно считать только уникальные названия, а не сумму количества признаков каждого объекта.
• Пропуск ограничения по времени или расписанию. В задачах с экскурсиями бывает дополнительное условие — совместимость по времени работы объектов; его нельзя игнорировать, даже если формально признаки покрыты.
• Неверный порядок номеров в ответе. Требуется писать номера объектов в порядке возрастания без разделителей — важно перечитать формат ответа перед его записью.
• Остановка на первом найденном варианте без проверки суммы. Иногда набор кажется подходящим по признакам, но при подсчёте суммарной стоимости оказывается, что лимит превышен — необходимо всегда явно проверять числовое ограничение.
• Путаница между "хотя бы" и "ровно". Если в условии сказано "не менее трёх", не нужно искать набор, который покрывает ровно все признаки, — достаточно минимального требуемого числа.

Как готовиться

• Решите как можно больше задач этого типа из открытого банка заданий ЕГЭ базового уровня — разнообразие сюжетов (переводчики, экскурсии, билеты, товары) одинаково по логике решения.
• Тренируйтесь быстро выписывать таблицу признаков "объект — что покрывает — стоимость/время" на черновике в сжатом виде, это экономит время на экзамене.
• Отрабатывайте приём поиска объектов с максимальным числом признаков — привычка сразу искать "комбинированные" варианты ускоряет решение в разы.
• После нахождения первого подходящего набора обязательно пересчитывайте сумму стоимости или времени ещё раз — ошибка в арифметике на этом шаге самая частая причина потери балла.
• Разбирайте задачи с разным числом объектов для выбора — из двух, трёх и четырёх вариантов, чтобы не растеряться, если условий для перебора будет мало или много.
• Практикуйте формат ответа: тренируйтесь записывать номера строго в порядке возрастания без лишних символов, чтобы не терять баллы на формальностях.
• Решайте задания на время — задание базового уровня должно занимать не более 3–5 минут, чтобы оставалось время на более сложные номера экзамена.