Задание 3 ЕГЭ база: чтение графиков и диаграмм — теория и разбор

Что проверяет задание

Задание 3 проверяет умение работать с готовой графической информацией: считывать значения величин по осям координат, соотносить точки на графике с реальными физическими или экономическими процессами, а также извлекать данные из диаграмм (столбчатых, круговых). Здесь не требуется строить графики самостоятельно — нужно правильно «прочитать» уже готовый рисунок и связать его с текстом задачи.

Основная сложность не в математике, а во внимательности: важно не перепутать оси, правильно определить масштаб деления и корректно перенести значение с графика в формулу или ответ.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: «На графике изображена зависимость величины A от величины B. Определите по графику...» Часто добавляется дополнительная формула, связывающая одну из величин с искомой (например, скорость через число оборотов двигателя).

Задание 3 — базового уровня сложности, оценивается в 1 балл. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, которую нужно записать в бланк без единиц измерения (если не указано иное). На выполнение обычно уходит 2–4 минуты — это одно из самых быстрых заданий экзамена при должной тренировке.

Что нужно знать

• Ось абсцисс (горизонтальная, $Ox$) — независимая переменная (время, число оборотов, номер месяца и т.д.).
• Ось ординат (вертикальная, $Oy$) — зависимая переменная (значение функции: температура, момент силы, доход и т.д.).
• Цена деления шкалы — расстояние между соседними отметками, выраженное в единицах измерения; вычисляется как $\text{цена деления} = \dfrac{\text{значение между подписанными точками}}{\text{число промежутков}}$.
• Линейная зависимость на графике выглядит как отрезок прямой; значение между узловыми точками меняется пропорционально.
• Для перехода от одной величины к другой часто дают формулу вида $y = kx$ или $y = kx + b$ — её нужно применять к значению, снятому с графика.
• На столбчатой диаграмме высота столбика соответствует значению величины, которое считывается по вспомогательной горизонтальной сетке.
• На круговой диаграмме сектор занимает долю от общего круга (360° или 100%), и эта доля пропорциональна значению показателя.
• Монотонность функции: если график возрастает — большему значению аргумента соответствует большее значение функции; если убывает — наоборот. Это важно при поиске наименьшего/наибольшего значения, удовлетворяющего условию.

Методы решения

1. Считывание значения по одной оси. Находим на нужной оси заданное значение, проводим (мысленно или по клеткам) перпендикуляр до пересечения с графиком, затем опускаем перпендикуляр на другую ось и считываем результат. Мини-пример: если на графике температуры в момент времени $t=5$ мин линия проходит на уровне $80\,^{\circ}\text{C}$, значит именно это значение температуры соответствует пятой минуте.

2. Поиск границы условия «не менее / не более». Если нужно найти наименьшее значение аргумента, при котором функция принимает значение больше или равное заданному, находим горизонтальную линию на уровне этого значения и определяем точку первого пересечения с графиком (с учётом характера монотонности). Мини-пример: нужно найти наименьшее число оборотов, при котором момент $M \ge 60$ Н·м. Проводим горизонталь на уровне 60, находим точку пересечения с возрастающей частью графика — это и есть искомое наименьшее число оборотов.

3. Применение дополнительной формулы к считанному значению. Если задача связывает считанную величину с искомой через формулу (например, скорость через обороты), сначала находим нужное значение по графику, затем подставляем в формулу. Мини-пример: если $n = 2000$ найдено по графику и дана формула $v = 0{,}036n$, то $v = 0{,}036 \cdot 2000 = 72$.

4. Разность значений по оси абсцисс (время, интервал). Когда нужно найти, сколько времени (или другого параметра) прошло между двумя состояниями, находим на графике обе точки по оси ординат, определяем соответствующие им значения на оси абсцисс и вычисляем разность. Мини-пример: если температура $60\,^{\circ}\text{C}$ достигается на 2-й минуте, а $90\,^{\circ}\text{C}$ — на 5-й минуте, ответ: $5-2=3$ минуты.

5. Работа с диаграммами (столбчатыми и круговыми). Для столбчатой диаграммы значение снимается по высоте столбика относительно вспомогательной шкалы; для круговой — оценивается доля сектора и переводится в абсолютное значение через общую сумму. Мини-пример: если сектор занимает $25\%$ круга, а общее количество равно 200, то значение категории: $200 \cdot 0{,}25 = 50$.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитать подписи осей: что откладывается по горизонтали, что по вертикали, в каких единицах.
2. Определить цену деления каждой оси, если она не указана явно, разделив расстояние между подписанными значениями на число промежутков.
3. Выделить в условии, какая величина дана, а какую нужно найти.
4. Если дана дополнительная формула, связывающая величины, выписать её отдельно в удобном виде.
5. На графике найти нужную точку (или диапазон) — провести мысленные перпендикуляры от заданного значения до линии графика и обратно на другую ось.
6. Считать полученное значение, учитывая цену деления (не всегда линия попадает точно на подписанную отметку — считаем по клеткам).
7. Если требуется, подставить считанное значение в формулу и получить окончательный числовой ответ.
8. Проверить единицы измерения ответа и соответствие требованию (например, «ответ дайте в километрах в час»).
9. Округлить или сократить результат согласно требованиям задачи (обычно ответ — целое число).

Разбор примеров

Пример 1. Условие: на графике дана зависимость крутящего момента двигателя $M$ (в Н·м) от числа оборотов в минуту $n$. Известно, что скорость автомобиля связана с числом оборотов формулой $$v = 0{,}036n,$$ где $v$ — скорость в км/ч. Нужно найти наименьшую скорость, при которой крутящий момент не меньше $120$ Н·м.

Шаг 1. На оси ординат (момент) находим отметку $120$ Н·м.

Шаг 2. Проводим горизонтальную линию на этом уровне до пересечения с графиком. Поскольку график момента сначала возрастает (по мере роста оборотов момент увеличивается), первое пересечение с линией $M=120$ происходит на возрастающем участке графика.

Шаг 3. Опускаем перпендикуляр из точки пересечения на ось абсцисс и считываем значение числа оборотов: по графику это $n = 2000$ об/мин — именно с этого числа оборотов момент впервые достигает 120 Н·м и дальше остаётся не меньше этого значения на возрастающем участке.

Шаг 4. Подставляем найденное $n$ в формулу скорости: $$v = 0{,}036 \cdot 2000 = 72.$$

Шаг 5. Проверяем: условие требует момент не меньше 120, значит нужное наименьшее $n$ — это именно точка первого достижения этого уровня, а не более поздняя точка на убывающем участке (там момент тоже может быть $\ge 120$, но соответствующая скорость будет больше, так как $n$ больше). Наименьшая скорость соответствует наименьшему подходящему $n$.

Ответ: 72 км/ч.

Пример 2. Условие: дан тот же тип графика — зависимость крутящего момента от числа оборотов. Чтобы автомобиль начал двигаться, момент должен быть не менее $60$ Н·м. Нужно найти наименьшее число оборотов, достаточное для начала движения.

Шаг 1. На оси ординат находим уровень $60$ Н·м.

Шаг 2. Проводим горизонталь до пересечения с возрастающей частью графика (момент растёт с увеличением числа оборотов на начальном участке).

Шаг 3. Опускаем перпендикуляр на ось абсцисс — считываем число оборотов в точке пересечения.

Шаг 4. По графику эта точка соответствует $n = 2000$ об/мин: при таком числе оборотов момент впервые достигает требуемых 60 Н·м, и при дальнейшем увеличении оборотов (до пика графика) момент остаётся не меньше этого значения.

Шаг 5. Так как требуется наименьшее число оборотов, удовлетворяющее условию, ответом является именно первая точка пересечения, а не более поздняя часть графика.

Ответ: 2000 об/мин.

Пример 3. Условие: график показывает зависимость температуры двигателя (в градусах Цельсия) от времени с момента запуска (в минутах). Нужно определить, сколько минут прошло, пока температура поднялась от $60\,^{\circirc}C$ до $90\,^{\circ}\text{C}$ (опечатка исправлена: $60\,^{\circ}\text{C}$).

Шаг 1. На оси ординат (температура) находим отметку $60\,^{\circ}\text{C}$, проводим горизонталь до пересечения с графиком нагрева (график возрастает, так как двигатель греется).

Шаг 2. Опускаем перпендикуляр на ось времени, считываем момент времени $t_1$, когда температура равна $60\,^{\circ}\text{C}$. По графику $t_1 = 2$ минуты.

Шаг 3. Аналогично находим отметку $90\,^{\circ}\text{C}$ на оси ординат, проводим горизонталь до пересечения с графиком и опускаем перпендикуляр на ось времени. Получаем $t_2 = 5$ минут.

Шаг 4. Находим разницу во времени: $$t_2 - t_1 = 5 - 2 = 3.$$

Шаг 5. Проверяем логичность: температура растёт монотонно, значит разность времени между двумя температурными отметками однозначно определена и положительна.

Ответ: 3 минуты.

Типичные ошибки и ловушки

• Перепутать оси. Если по горизонтали отложено время, а по вертикали — температура, легко случайно искать значение времени на оси температуры и наоборот. Всегда сначала читайте подписи осей.
• Неправильно определить цену деления. Если между подписанными числами несколько мелких клеток, нужно аккуратно разделить интервал на количество делений, а не считать каждую клетку за единицу.
• Не учесть немонотонность графика. Крутящий момент часто сначала растёт, потом падает. Если искать «наименьшее значение аргумента при условии $\ge$ значение», важно брать первую точку пересечения на возрастающем участке, а не вторую — на убывающем.
• Забыть про дополнительную формулу. Иногда достаточно считать значение с графика, а ответ требует ещё применения формулы (например, перевод оборотов в скорость). Пропуск этого шага даёт неверный итог.
• Не проверить единицы измерения ответа. Если задача просит ответ в км/ч, а с графика вы сняли число оборотов, забыв применить формулу перевода, ответ будет неверным по смыслу.
• Ошибки в чтении диаграмм с процентами. Для круговой диаграммы важно не забыть перевести долю сектора в конкретное число через общую величину, а не оставлять ответ в процентах, если требуется абсолютное значение.
• Округление там, где оно не нужно. Если ответ на графике считывается точно (например, в узловой точке), не нужно искусственно округлять — читайте значение так, как оно обозначено на шкале.

Как готовиться

Лучший способ подготовки — практика на реальных графиках из открытого банка заданий ФИПИ: чем больше типов графиков (температура, скорость, доход, крутящий момент, диаграммы с процентами) вы разберёте, тем быстрее научитесь распознавать нужный участок и считывать значения без ошибок.

Полезно тренироваться так:

• Сначала закрывать текст условия и пытаться самостоятельно описать, что показано на графике: какие оси, какая зависимость, где график растёт, где убывает, где есть пики.
• Затем читать условие и находить конкретные точки, применяя алгоритм по шагам.
• Специально решать задачи с формулами перевода величин (типа $v = 0{,}036n$), чтобы автоматически не забывать про этот шаг.
• Обращать внимание на слова «не менее», «не более», «наименьшее», «наибольшее» — они указывают, какую именно точку графика нужно искать.
• После решения обязательно проверять единицы измерения и соответствие ответа смыслу задачи (например, скорость не может быть отрицательной, время не может быть больше общей продолжительности процесса на графике).

Регулярная практика (10–15 задач разных типов) обычно полностью снимает трудности с этим заданием, и на экзамене оно решается за пару минут без ошибок.