Задание 13 ЕГЭ по информатике: маски подсети и адресация в сетях

Что проверяет задание

Задание 13 проверяет умение работать с IP-адресами и масками подсети — базовыми элементами адресации в компьютерных сетях по протоколу TCP/IP. Проверяются три связанные навыки:

• перевод чисел между двоичной и десятичной системами счисления (это фундамент, без которого задание не решить);
• понимание логической операции "побитовое И", которая связывает IP-адрес и маску;
• умение считать количество адресов в подсети заданного размера.

Задание относится к практической части сетевых технологий и часто воспринимается как сложное только из-за непривычной формы записи чисел. На самом деле весь материал сводится к паре формул и аккуратной работе с двоичными числами.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

В большинстве вариантов формулировка задания включает полное определение маски подсети — его можно не запоминать наизусть, оно всегда дано в условии. Далее идёт один из трёх типовых вопросов:

1. Дан IP-адрес и маска — найти номер компьютера в подсети или адрес сети.
2. Дана маска — найти количество возможных адресов компьютеров в подсети (с учётом или без учёта исключения двух служебных адресов).
3. Дан IP-адрес и адрес сети (или два IP-адреса из одной подсети) — определить маску.

Задание оценивается в 1 балл, ответ — целое число или число в форматe IP-адреса (четыре десятичных числа через точку), вводится без пробелов. Времени на задание в среднем уходит 3–5 минут при уверенном владении переводом систем счисления.

Что нужно знать

• IP-адрес в протоколе IPv4 — это 32-битное число, которое для удобства записывают как четыре десятичных числа от 0 до 255, разделённых точками: $a_1.a_2.a_3.a_4$, где каждое $a_i$ — это 8 бит (один октет).
• Маска подсети — тоже 32-битное число такого же формата. В маске старшие биты равны 1 (они относятся к адресу сети), младшие биты равны 0 (они относятся к адресу компьютера в сети).
• Адрес сети получается применением побитовой операции "И" (конъюнкции) к IP-адресу и маске: $\text{Сеть} = \text{IP} \ \& \ \text{Маска}$. Операция выполняется отдельно для каждого бита: $1\&1=1$, $1\&0=0$, $0\&1=0$, $0\&0=0$.
• Номер компьютера в подсети — это те биты IP-адреса, которые соответствуют нулевым битам маски. Иными словами, номер компьютера получают, беря младшие $n$ бит IP-адреса, где $n$ — количество нулей в маске.
• Количество бит, отведённых под адрес компьютера, обозначим $n$. Тогда максимальное теоретическое число адресов в подсети равно $2^n$.
• Из общего числа адресов практически исключают два: адрес сети (все биты компьютера — нули) и широковещательный адрес (все биты компьютера — единицы). Тогда число доступных адресов компьютеров: $2^n - 2$.
• Полезно помнить степени двойки: $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$, $2^6=64$, $2^7=128$, $2^8=256$, $2^9=512$, $2^{10}=1024$.
• Стандартные десятичные значения октетов маски и число единичных бит в них: 255 — 8 единиц, 254 — 7 единиц, 252 — 6 единиц, 248 — 5 единиц, 240 — 4 единицы, 224 — 3 единицы, 192 — 2 единицы, 128 — 1 единица, 0 — 0 единиц. Эти значения стоит выучить наизусть, они экономят время.

Методы решения

Метод 1. Перевод октета маски в двоичный вид для подсчёта единиц и нулей. Чтобы понять, сколько бит отведено под сеть и сколько под компьютер, каждый десятичный октет маски переводят в 8-битное двоичное число. Например, $224_{10} = 11100000_2$ — здесь 3 единицы и 5 нулей.

Метод 2. Побитовое "И" для нахождения адреса сети или номера компьютера. Если нужно найти адрес сети, IP-адрес и маску переводят в двоичный вид и применяют операцию "И" разряд за разрядом. Пример: IP $= 11000000$ (192), маска-октет $= 11100000$ (224). Тогда результат $= 11000000$ (192) — совпали первые три бита маски-единицы, остальные обнулились.

Метод 3. Выделение номера компьютера как остатка по модулю. Если известно, что маска в последнем значимом октете равна, скажем, 224 (то есть 3 единичных бита), то номер компьютера внутри блока из $2^5=32$ адресов равен остатку от деления значения последнего октета IP-адреса на 32: $\text{номер} = a_4 \mod 32$. Этот способ быстрее полного перевода в двоичный код. Пример: если $a_4 = 157$, то $157 \mod 32 = 29$.

Метод 4. Подсчёт количества адресов через число нулевых бит маски. Считают, сколько всего нулевых бит в маске (обычно нули сосредоточены в последних октетах). Если нулей $n$, то теоретическое число адресов $2^n$, а число адресов компьютеров с учётом исключения служебных — $2^n - 2$. Пример: маска 255.255.254.0 имеет в третьем октете $254_{10}=11111110_2$ (7 единиц, 1 ноль), в четвёртом октете все 8 бит нулевые. Итого нулей: $1+8=9$, отсюда $2^9 - 2 = 512-2=510$.

Метод 5. Определение маски по двум известным адресам одной подсети. Если даны два IP-адреса, принадлежащих одной подсети, находят, начиная со старшего бита, до какого разряда биты обоих адресов совпадают. Все совпадающие старшие биты — это единицы маски, остальные — нули. Пример: если у двух адресов совпадают первые 26 бит, значит маска содержит 26 единиц, то есть последние 6 бит — нули, а маска в десятичном виде — 255.255.255.192 (так как $256-2^6=192$).

Алгоритм решения по шагам

1. Определить тип задачи: ищем номер компьютера / адрес сети, количество адресов, или маску.
2. Перевести необходимые октеты (обычно только тот, где есть "переход" от единиц к нулям) в двоичный вид.
3. Если ищем адрес сети или номер компьютера — выполнить побитовое "И" (или воспользоваться формулой остатка от деления для скорости).
4. Если ищем количество адресов — посчитать число нулевых бит в маске $n$ и применить формулу $2^n$ или $2^n-2$ (в зависимости от условия — учитывать исключение служебных адресов или нет).
5. Если ищем маску — сравнить два IP-адреса побитово, найти количество совпадающих старших бит, перевести обратно в десятичный формат.
6. Проверить полученный ответ на согласованность с условием задания (число адресов, диапазон значений октета от 0 до 255 и т. д.).

Разбор примеров

Пример 1.

Условие: маска подсети $255.255.255.224$, IP-адрес компьютера $162.198.0.157$. Найти порядковый номер компьютера в сети.

Шаг 1. Сравниваем маску и IP-адрес по октетам. Первые три октета маски равны 255 — значит, соответствующие октеты IP-адреса (162, 198, 0) целиком относятся к адресу сети и не влияют на номер компьютера.

Шаг 2. Четвёртый октет маски — $224$. Переводим в двоичный вид: $224_{10} = 11100000_2$. Здесь 3 единицы и 5 нулей.

Шаг 3. Пять нулевых бит означают, что номер компьютера кодируется 5 младшими битами последнего октета IP-адреса, то есть равен остатку от деления значения этого октета на $2^5 = 32$.

Шаг 4. Последний октет IP-адреса равен 157. Считаем: $157 = 4 \cdot 32 + 29$, то есть $157 \mod 32 = 29$.

Шаг 5 (проверка через двоичный вид). $157_{10} = 10011101_2$. Побитовое "И" с маской $11100000_2$ даёт $10000000_2 = 128$ — это адрес сети (четвёртый октет). Номер компьютера — это оставшиеся 5 бит IP-адреса: $10011101_2$, младшие 5 бит — $11101_2 = 29$.

Ответ: 29.

Пример 2.

Условие: маска подсети $255.255.254.0$. Найти количество различных адресов компьютеров, если два адреса (сети и широковещательный) не используются.

Шаг 1. Первые два октета маски — $255.255$, то есть 16 единичных бит, полностью относятся к адресу сети.

Шаг 2. Третий октет маски — $254_{10}$. Переводим: $254 = 11111110_2$. Здесь 7 единиц и 1 ноль.

Шаг 3. Четвёртый октет маски — $0_{10} = 00000000_2$, все 8 бит нулевые.

Шаг 4. Общее число нулевых бит в маске: $1 + 8 = 9$. Значит, теоретическое число адресов в подсети $2^9 = 512$.

Шаг 5. По условию исключаются два адреса — сети и широковещательный. Итого доступных адресов компьютеров: $512 - 2 = 510$.

Ответ: 510.

Пример 3.

Условие: маска подсети $255.255.248.0$. Найти количество различных адресов компьютеров (с учётом исключения адреса сети и широковещательного адреса — это указано в примечании).

Шаг 1. Первые два октета маски — $255.255$, 16 единичных бит, относятся к адресу сети.

Шаг 2. Третий октет маски — $248_{10}$. Переводим в двоичный вид: $248 = 11111000_2$. Здесь 5 единиц и 3 нуля.

Шаг 3. Четвёртый октет маски — $0_{10} = 00000000_2$, все 8 бит нулевые.

Шаг 4. Общее число нулевых бит: $3 + 8 = 11$. Теоретическое число адресов в подсети: $2^{11} = 2048$.

Шаг 5. Исключаем адрес сети и широковещательный адрес: $2048 - 2 = 2046$.

Ответ: 2046.

Типичные ошибки и ловушки

• Путают количество единичных и нулевых бит в маске — считают степень двойки не от нулей, а от единиц. Всегда проверяйте: под адрес компьютера отводятся именно нулевые биты маски.
• Забывают вычесть 2 при подсчёте доступных адресов, когда условие явно требует исключить адрес сети и широковещательный адрес — или, наоборот, вычитают 2 там, где вопрос спрашивает про теоретическое (максимальное) количество адресов без исключений. Внимательно читайте формулировку: "теоретически допускает" обычно означает $2^n$, а "доступно для использования" — $2^n-2$.
• Ошибаются в переводе десятичного октета маски в двоичный вид — особенно при значениях 192, 224, 240, 248, 252, 254. Полезно выучить эти шесть значений наизусть, чтобы не тратить время на перевод при каждом решении.
• Забывают, что маска может "разрезать" октет не только на границе — единичные и нулевые биты внутри одного октета маски всегда идут подряд: сначала все единицы, потом все нули. Если в задаче получается "вразнобой" — это сигнал ошибки в вычислениях.
• При поиске номера компьютера через остаток от деления неправильно определяют делитель — берут не $2^n$ (где $n$ — число нулевых бит), а, например, само значение октета маски.
• При определении маски по двум адресам одной подсети сравнивают десятичные значения октетов напрямую, а не бит за битом — это может привести к ошибке, если совпадение десятичных чисел не означает совпадения всех восьми бит (хотя обратное верно: несовпадение чисел точно означает несовпадение хотя бы одного бита).
• Путают порядок октетов маски и IP-адреса при записи ответа — важно сохранять формат "четыре числа через точку" именно в том порядке, в котором идут октеты в условии.

Как готовиться

Первый шаг — довести до автоматизма перевод чисел от 0 до 255 в двоичный вид и обратно, а также твёрдо выучить таблицу стандартных значений маски (128, 192, 224, 240, 248, 252, 254, 255) и соответствующее им число единичных и нулевых бит. Это экономит драгоценные минуты на экзамене.

Второй шаг — прорешать по 8–10 задач каждого из трёх типов (номер компьютера/адрес сети, количество адресов, определение маски), чтобы отработать оба способа: полный перевод в двоичный вид с побитовым "И" и быстрый способ через операцию остатка от деления. Второй способ существенно ускоряет решение, но полезно уметь проверять себя первым способом.

Третий шаг — обязательно тренироваться на задачах с разными позициями "среза" маски: когда граница единиц и нулей проходит не по границе октета, а внутри него (как в примерах 1 и 3), поскольку именно такие задачи чаще вызывают ошибки. Полезно завести таблицу соответствия: число нулевых бит в подсети — степень двойки — число доступных адресов, чтобы быстро сверяться при решении.

Четвёртый шаг — решать варианты целиком в условиях ограниченного времени, чтобы задание 13 отрабатывалось за 2–3 минуты, оставляя запас времени на более сложные задачи экзамена.