Задание 19 ЕГЭ по физике: погрешности прямых и косвенных измерений

Что проверяет задание

Задание 19 проверяет умение работать с реальными измерительными приборами: мензурками, вольтметрами, амперметрами, миллиамперметрами, термометрами и другими шкальными приборами. Основная идея — любое измерение имеет погрешность, и результат нужно записывать не одним числом, а в виде интервала «значение ± погрешность». Задание проверяет два навыка:

• умение снять показание прибора по картинке шкалы (определить цену деления и положение стрелки/уровня);
• умение правильно определить и записать абсолютную погрешность прямого измерения, а в более сложных вариантах — рассчитать погрешность величины, полученной косвенно (по формуле из нескольких измеренных величин).

Задание относится к разделу «Элементы астрофизики и методы измерений», но по факту не привязано к конкретной физической теме — оно про метрологию, применимую и к механике, и к электродинамике, и к молекулярной физике.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: «На рисунке изображена шкала прибора (мензурки, вольтметра, амперметра). Погрешность измерения равна цене деления (или половине цены деления). Укажите значение измеряемой величины с учётом погрешности». В ответе требуется записать число и погрешность слитно, без пробела, в определённых единицах измерения (это указано в условии).

Задание оценивается в 1 балл. Ответ — краткий, числовой, без указания единиц измерения (единицы указаны в условии и не пишутся в бланке). Ошибка в определении цены деления или в округлении показания сразу лишает балла, поэтому важна аккуратность при чтении рисунка.

Что нужно знать

• Цена деления шкалы — значение, соответствующее одному минимальному делению шкалы: $c = \dfrac{x_2 - x_1}{n}$, где $x_1, x_2$ — значения двух соседних оцифрованных штрихов, $n$ — число делений между ними.
• Абсолютная погрешность прямого измерения $\Delta x$ — задаётся условием задачи: чаще всего равна цене деления прибора $\Delta x = c$ либо половине цены деления $\Delta x = c/2$.
• Запись результата прямого измерения: $x = x_{изм} \pm \Delta x$, где $x_{изм}$ — показание, снятое со шкалы.
• Относительная погрешность: $\varepsilon = \dfrac{\Delta x}{x_{изм}} \cdot 100\%$.
• Погрешность суммы и разности (для косвенных измерений): $\Delta(a \pm b) = \Delta a + \Delta b$.
• Погрешность произведения и частного: относительные погрешности складываются: $\varepsilon_{y} = \varepsilon_a + \varepsilon_b$, если $y = a \cdot b$ или $y = a/b$.
• Погрешность степенной зависимости: если $y = x^n$, то $\varepsilon_y = n \cdot \varepsilon_x$.
• Правило округления: показание округляется до ближайшего деления шкалы (если стрелка/уровень точно между делениями, берут середину, но обычно в задании чётко видно ближайшее деление); численный ответ округляется до того же порядка, что и погрешность.

Методы решения

1. Метод определения цены деления. Находят два соседних подписанных числа на шкале и число делений между ними, делят разность на количество промежутков. Пример: между отметками 40 и 50 мл на мензурке 5 делений, тогда $c = \dfrac{50-40}{5} = 2$ мл.

2. Метод снятия показания по положению указателя. Определяют, на каком делении находится стрелка (или уровень жидкости — по нижнему мениску), и переводят в число, умножая номер деления на цену деления и прибавляя к ближайшей подписанной отметке. Пример: стрелка на 3 деления выше отметки 40 при цене деления 2: показание $= 40 + 3\cdot 2 = 46$.

3. Метод определения абсолютной погрешности по условию. Если сказано «погрешность равна цене деления», берут $\Delta x = c$; если «половина цены деления» — $\Delta x = c/2$. Пример: цена деления вольтметра 0,2 В, погрешность — половина деления, значит $\Delta U = 0{,}1$ В.

4. Метод записи и округления результата. Значение и погрешность приводят к одному десятичному разряду и записывают в требуемом формате (слитно, без пробела и без единиц). Пример: $U = (4{,}6 \pm 0{,}1)$ В записывается как «4,60,1».

5. Метод расчёта погрешности косвенного измерения. Если величина вычисляется по формуле из нескольких измеренных величин, сначала находят относительные погрешности каждой из них, затем складывают по правилу для соответствующей математической операции, после чего переводят суммарную относительную погрешность в абсолютную для итоговой величины. Пример: плотность $\rho = m/V$, если $\varepsilon_m = 1\%$ и $\varepsilon_V = 2\%$, то $\varepsilon_\rho = 3\%$, а $\Delta \rho = \rho \cdot 0{,}03$.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно рассмотреть шкалу прибора на рисунке: найти подписанные числа и посчитать делении между ними.
2. Вычислить цену деления шкалы $c$.
3. Определить, на каком делении находится указатель (стрелка, уровень жидкости), и снять числовое показание $x_{изм}$.
4. Из условия задачи понять, чему равна абсолютная погрешность: цене деления или её половине, и вычислить $\Delta x$.
5. Если задание про косвенное измерение — выписать формулу зависимости искомой величины от измеренных, найти относительные погрешности всех величин, сложить их по правилу для данной операции (сумма, произведение, степень), получить $\varepsilon$ и $\Delta y = y \cdot \varepsilon$.
6. Округлить показание и погрешность до одного и того же десятичного разряда.
7. Записать ответ в требуемом виде — обычно значение и погрешность слитно, без пробелов и без единиц измерения (единицы указаны в условии).

Разбор примеров

Пример 1. Мензурка.

Условие: объём жидкости измерен мензуркой, погрешность измерения равна цене деления прибора. Нужно указать объём с учётом погрешности, ответ — слитно, в мл.

Шаг 1. По шкале мензурки видно, что подписанные отметки идут через 10 мл, а между ними — 5 делений, значит цена деления: $$c = \frac{10}{5} = 2 \text{ мл}$$

Шаг 2. Уровень жидкости находится на отметке 46 мл (снимается по нижнему мениску).

Шаг 3. Погрешность по условию равна цене деления: $$\Delta V = c = 2 \text{ мл}$$

Шаг 4. Записываем результат: $$V = (46 \pm 2) \text{ мл}$$

Шаг 5. В требуемом формате (слитно, без пробела): 462.

Пример 2. Вольтметр.

Условие: нужно найти напряжение на лампочке, если погрешность прямого измерения равна половине цены деления вольтметра.

Шаг 1. По шкале вольтметра между соседними подписанными числами (например, 4 В и 5 В) находится 5 делений, тогда цена деления: $$c = \frac{5-4}{5} = 0{,}2 \text{ В}$$

Шаг 2. Стрелка прибора стоит на отметке, соответствующей показанию: $$U_{изм} = 4{,}6 \text{ В}$$

Шаг 3. Погрешность равна половине цены деления: $$\Delta U = \frac{c}{2} = \frac{0{,}2}{2} = 0{,}1 \text{ В}$$

Шаг 4. Итоговая запись: $$U = (4{,}6 \pm 0{,}1) \text{ В}$$

Шаг 5. В требуемом формате: 4,60,1.

Пример 3. Миллиамперметр.

Условие: найти ток в цепи, если погрешность прямого измерения равна половине цены деления миллиамперметра, ответ в мА.

Шаг 1. На шкале миллиамперметра между соседними подписанными числами (например, 10 мА и 20 мА) — 5 делений, цена деления: $$c = \frac{20-10}{5} = 2 \text{ мА}$$

Шаг 2. Стрелка находится на отметке: $$I_{изм} = 14 \text{ мА}$$

Шаг 3. Погрешность равна половине цены деления: $$\Delta I = \frac{c}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ мА}$$

Шаг 4. Итоговая запись: $$I = (14 \pm 1) \text{ мА}$$

Шаг 5. В требуемом формате: 141.

Во всех трёх примерах алгоритм одинаковый: сначала цена деления, потом показание, потом погрешность по условию, потом запись в нужном формате без пробелов и единиц.

Типичные ошибки и ловушки

• Неверный подсчёт делений между подписанными числами. Часто путают число делений и число промежутков — важно считать именно промежутки (интервалы), а не штрихи.
• Путаница между «цена деления» и «половина цены деления». Нужно очень внимательно читать формулировку — от этого напрямую зависит числовой ответ.
• Неправильное снятие показания по мениску. У жидкости в мензурке всегда смотрят по нижнему краю мениска, а не по верхнему.
• Округление показания не до ближайшего деления. Показание всегда должно соответствовать делению шкалы (или половине деления, если это явно видно на рисунке), нельзя «додумывать» промежуточные значения произвольно.
• Несогласованность разрядов значения и погрешности. Если погрешность выражена в десятых долях, то и показание нужно округлить до тех же десятых, иначе запись будет некорректной.
• Наличие пробела или единиц измерения в ответе. Задание требует запись слитно и без указания единиц — лишний пробел или буквенное обозначение единицы делает ответ неверным.
• Ошибки в расчёте погрешности косвенных измерений. При работе с формулами часто забывают, что для произведения и частного складываются относительные погрешности, а не абсолютные, и наоборот — для суммы складываются абсолютные, а не относительные.
• Неверный перевод единиц. Если шкала проградуирована в одних единицах, а ответ требуется в других (например, амперы вместо миллиампер), забывают выполнить пересчёт.

Как готовиться

Лучший способ подготовки — тренироваться на реальных изображениях шкал разных приборов: линеек, мензурок, вольтметров, амперметров, термометров, секундомеров. Для каждого рисунка нужно самостоятельно определять цену деления, читать показание и вычислять погрешность в двух вариантах — «равна цене деления» и «равна половине цены деления», чтобы автоматически различать эти формулировки.

Полезно завести привычку всегда проговаривать план: сначала цена деления, потом показание, потом погрешность, потом запись ответа. Такая последовательность снижает риск пропустить шаг под давлением времени на экзамене.

Отдельно стоит отработать задачи на косвенные измерения — там, где искомая величина вычисляется по формуле (плотность, сопротивление, ускорение и т.п.) через несколько измеренных с погрешностью величин. Нужно уверенно помнить три правила: для суммы и разности складываются абсолютные погрешности, для произведения и частного — относительные, для степенной зависимости относительная погрешность умножается на показатель степени.

При решении тренировочных вариантов стоит проверять формат ответа: писать число и погрешность слитно, без пробелов, без единиц измерения, если это явно требуется в условии. Регулярная практика с разными типами шкал и формулами быстро формирует автоматизм, необходимый для уверенного решения задания 19 на экзамене.