Задание 12 ЕГЭ по физике: магнитное поле, индукция, сила Ампера и Лоренца, самоиндукция

Что проверяет задание

Задание 12 проверяет умение работать с тремя связанными явлениями магнетизма: электромагнитной индукцией, силовым действием магнитного поля на заряды и токи, а также самоиндукцией. Проверяются:

• понимание понятия магнитного потока и умение считать его через угол между вектором индукции и нормалью к плоскости контура;
• знание закона электромагнитной индукции (закона Фарадея) и правила Ленца;
• умение находить силу Ампера и силу Лоренца, определять их направление;
• понимание явления самоиндукции и формулы для ЭДС самоиндукции и энергии магнитного поля;
• умение читать графики зависимости $B(t)$, $\Phi(t)$, $I(t)$ и извлекать из них числовые данные.

Задание расчётное: требуется получить число, а не текстовый ответ, поэтому важна точность в единицах измерения и в подстановке величин.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Задание 12 находится в первой части экзамена и оценивается в 1 балл — засчитывается только полностью верный числовой ответ, промежуточные шаги не проверяются. Типичные формулировки:

• «Найдите модуль вектора магнитной индукции, если известны магнитный поток, площадь контура и угол»;
• «По графику зависимости магнитного потока (заряда) найдите сопротивление контура»;
• «Определите индукционный ток в контуре, если известен график $B(t)$»;
• «Найдите силу Ампера (силу Лоренца), действующую на проводник (заряженную частицу)»;
• «Найдите ЭДС самоиндукции при заданном изменении силы тока за время».

Ответ обычно нужно дать в определённых единицах (Тл, А, мА, мкКл, Ом, Дж) — это указано в условии, и несоответствие единиц — частая причина потери балла.

Что нужно знать

• Магнитный поток через плоский контур: $\Phi = B S \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между вектором индукции $\vec{B}$ и нормалью (перпендикуляром) к плоскости контура.
• Если угол дан между линиями индукции и плоскостью контура (обозначим его $\beta$), то $\Phi = B S \sin\beta$, так как $\beta = 90^\circ - \alpha$.
• Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея): $\varepsilon = -\dfrac{\Delta \Phi}{\Delta t}$. Знак минус отражает правило Ленца, в расчётах модуля ЭДС минус обычно отбрасывают.
• Правило Ленца: индукционный ток всегда направлен так, чтобы противодействовать изменению магнитного потока, вызвавшему этот ток.
• Закон Ома для контура при индукции: $I = \dfrac{\varepsilon}{R}$.
• Связь заряда, потока и сопротивления (для контура, где ЭДС и ток постоянны или усреднены): $\Delta q = \dfrac{\Delta \Phi}{R}$.
• Сила Ампера, действующая на проводник с током в магнитном поле: $F_A = B I l \sin\alpha$, где $\alpha$ — угол между направлением тока и вектором $\vec{B}$. Направление — правило левой руки.
• Сила Лоренца, действующая на заряженную частицу: $F_L = |q| v B \sin\alpha$, где $\alpha$ — угол между скоростью $\vec{v}$ и вектором $\vec{B}$. Направление — тоже правило левой руки (для положительного заряда).
• Явление самоиндукции: изменение силы тока в контуре вызывает собственное изменение магнитного потока и наведённую ЭДС: $\varepsilon_{si} = -L \dfrac{\Delta I}{\Delta t}$, где $L$ — индуктивность контура (катушки).
• Энергия магнитного поля катушки с током: $W = \dfrac{L I^2}{2}$.
• Индуктивность зависит от геометрии и материала контура (числа витков, площади, длины, наличия сердечника), но в задании 12 обычно даётся готовым числом.

Методы решения

1. Расчёт магнитного потока через угол. Нужно чётко определить, какой угол дан в условии — между вектором индукции и нормалью, или между линиями индукции и плоскостью контура. Пример: если поток $\Phi = 0{,}2$ Вб, площадь $S = 0{,}5$ м², угол между линиями поля и плоскостью контура $30^\circ$, то $\Phi = B S \sin 30^\circ$, откуда $B = \dfrac{\Phi}{S \sin 30^\circ}$.

2. Работа с графиком $\Delta\Phi$–$\Delta q$. Если дана таблица или график зависимости протёкшего заряда от изменения потока, эта зависимость линейна: $\Delta q = \dfrac{1}{R}\Delta \Phi$. Угловой коэффициент прямой равен $\dfrac{1}{R}$. Мини-пример: при $\Delta \Phi = 0{,}01$ Вб протекает $\Delta q = 5$ мКл, значит $R = \dfrac{\Delta \Phi}{\Delta q} = \dfrac{0{,}01}{0{,}005} = 2$ Ом.

3. Работа с графиком $B(t)$ для нахождения индукционного тока. Если контур неподвижен и перпендикулярен линиям индукции, поток $\Phi = B(t) S$. Скорость изменения потока находится через наклон графика $B(t)$: $\dfrac{\Delta \Phi}{\Delta t} = S \cdot \dfrac{\Delta B}{\Delta t}$, далее ЭДС и ток по закону Ома. Мини-пример: если за 2 с индукция меняется на 0,2 Тл, а площадь контура 0,01 м², то $\varepsilon = 0{,}01 \cdot \dfrac{0{,}2}{2} = 0{,}001$ В.

4. Определение силы Ампера и силы Лоренца. Величина находится по формулам $F_A = BIl\sin\alpha$ и $F_L = qvB\sin\alpha$, направление — по правилу левой руки: четыре пальца левой руки направляют по току (или по скорости положительного заряда), линии индукции входят в ладонь, отогнутый большой палец показывает направление силы. Мини-пример: проводник длиной 0,5 м с током 4 А расположен перпендикулярно полю с индукцией 0,2 Тл — $F_A = 0{,}2 \cdot 4 \cdot 0{,}5 \cdot 1 = 0{,}4$ Н.

5. Расчёт ЭДС самоиндукции и энергии поля. Если известно изменение тока за время и индуктивность, ЭДС самоиндукции находится прямой подстановкой в формулу $\varepsilon_{si} = L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$ (модуль). Мини-пример: при $L = 0{,}5$ Гн и изменении тока от 2 А до 6 А за 2 с $\varepsilon_{si} = 0{,}5 \cdot \dfrac{4}{2} = 1$ В.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить, какое явление описано в задаче: индукция (изменение потока), силовое взаимодействие (сила Ампера или Лоренца) или самоиндукция.
2. Выписать все данные величины и перевести их в СИ (см в метры, мВб в Вб, мкКл в Кл, мс в с и т.д.).
3. Если дан угол — уточнить, между чем он измерен (между $\vec B$ и нормалью, или между линиями поля и плоскостью), и выбрать нужную тригонометрическую функцию ($\cos$ или $\sin$).
4. Если дан график — определить, какая величина отложена по осям, и найти нужный наклон или разность значений в указанном интервале.
5. Подставить данные в соответствующую формулу (поток, ЭДС, закон Ома, сила Ампера/Лоренца, ЭДС самоиндукции).
6. Проверить единицы измерения ответа согласно требованию условия и, если нужно, перевести результат (А в мА, Тл в мТл и т.п.).
7. Проверить правдоподобность численного ответа (порядок величины).

Разбор примеров

Пример 1. По результатам опытов измеряли изменение магнитного потока $\Delta \Phi$ и протёкший заряд $\Delta q$. Таблица: при $\Delta \Phi = 0{,}01$; $0{,}02$; $0{,}03$; $0{,}04$ Вб соответствующие значения $\Delta q = 5$; $10$; $15$; $20$ мКл. Нужно найти сопротивление контура.

Шаг 1. Используем связь заряда и потока: $\Delta q = \dfrac{\Delta \Phi}{R}$, значит $R = \dfrac{\Delta \Phi}{\Delta q}$.

Шаг 2. Проверяем, что зависимость линейна и коэффициент одинаков для всех точек. Возьмём первую пару: $\Delta \Phi = 0{,}01$ Вб, $\Delta q = 5$ мКл $= 5 \cdot 10^{-3}$ Кл.

Шаг 3. $R = \dfrac{0{,}01}{5 \cdot 10^{-3}} = 2$ Ом.

Шаг 4. Проверим на другой точке: $\Delta \Phi = 0{,}04$ Вб, $\Delta q = 20$ мКл $= 0{,}02$ Кл, $R = \dfrac{0{,}04}{0{,}02} = 2$ Ом. Совпадает.

Ответ: $R = 2$ Ом.

Пример 2. Линии индукции однородного магнитного поля пронизывают рамку площадью $S = 0{,}5$ м² под углом $30^\circ$ к её поверхности, создавая магнитный поток $\Phi = 0{,}2$ Вб. Нужно найти модуль вектора индукции.

Шаг 1. Обращаем внимание: угол $30^\circ$ дан между линиями индукции и поверхностью рамки, а не между вектором $\vec B$ и нормалью. Значит, угол между $\vec B$ и нормалью равен $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Шаг 2. Формула потока с углом к нормали: $\Phi = B S \cos(90^\circ - 30^\circ) = B S \sin 30^\circ$.

Шаг 3. Подставляем числа: $0{,}2 = B \cdot 0{,}5 \cdot \sin 30^\circ = B \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 B$.

Шаг 4. Находим $B$: $B = \dfrac{0{,}2}{0{,}25} = 0{,}8$ Тл.

Ответ: $B = 0{,}8$ Тл.

Пример 3. Прямоугольный проводящий контур с сопротивлением $R = 0{,}25$ Ом, длиной 5 см и шириной 2 см, помещён перпендикулярно линиям индукции магнитного поля, модуль которого меняется по заданному на графике закону $B(t)$. Нужно найти индукционный ток в интервале времени от 5 с до 9 с.

Шаг 1. Площадь контура: $S = 0{,}05 \cdot 0{,}02 = 0{,}001$ м² $= 10^{-3}$ м².

Шаг 2. Так как контур перпендикулярен линиям поля, поток равен $\Phi(t) = B(t) \cdot S$, и изменение потока пропорционально изменению индукции: $\Delta \Phi = S \cdot \Delta B$.

Шаг 3. По графику в указанном интервале от 5 до 9 с (то есть за $\Delta t = 4$ с) индукция меняется линейно, определяем по клеткам графика значение $\Delta B = 0{,}5$ Тл.

Шаг 4. Находим ЭДС индукции: $\varepsilon = \dfrac{\Delta \Phi}{\Delta t} = \dfrac{S \cdot \Delta B}{\Delta t} = \dfrac{10^{-3} \cdot 0{,}5}{4} = 1{,}25 \cdot 10^{-4}$ В.

Шаг 5. По закону Ома находим ток: $I = \dfrac{\varepsilon}{R} = \dfrac{1{,}25 \cdot 10^{-4}}{0{,}25} = 5 \cdot 10^{-4}$ А $= 0{,}5$ мА.

Ответ: $I = 0{,}5$ мА.

Этот пример показывает главный приём работы с графиком $B(t)$: нужный интервал времени задаёт наклон прямой, из которого напрямую получаем скорость изменения индукции, а через площадь — скорость изменения потока.

Типичные ошибки и ловушки

• Путаница между углом к нормали и углом к плоскости контура — это самая частая причина неверного ответа в задачах на магнитный поток. Всегда уточняйте, что именно дано в условии, и выбирайте $\cos$ или $\sin$ соответственно.
• Неверный перевод единиц: миллитеслы, миллиамперы, микрокулоны, сантиметры — при подстановке в формулы всё должно быть в СИ.
• Забывание, что при чтении графика важен именно указанный интервал времени, а не весь график целиком — часто в задаче спрашивают про часть графика, где $B$ меняется линейно, а не про весь промежуток.
• Неправильное применение правила левой руки: при определении направления силы Лоренца для отрицательного заряда направление силы нужно развернуть на противоположное по сравнению с положительным зарядом.
• Использование формулы силы Ампера или Лоренца без учёта угла $\sin\alpha$ — если проводник или скорость частицы не перпендикулярны полю, синус угла обязателен, а при параллельности поля и тока (или скорости) сила равна нулю.
• Путаница между ЭДС самоиндукции и обычной ЭДС индукции: самоиндукция определяется не изменением внешнего поля, а изменением тока в самом контуре, формула через индуктивность $L$, а не через площадь и внешнее поле.
• Ошибка со знаком минус в законе Фарадея: для расчёта модуля ЭДС или тока минус не влияет на численный ответ, но важен для определения направления индукционного тока по правилу Ленца.
• Неверная подстановка величин из таблицы при линейной зависимости: проверяйте коэффициент пропорциональности хотя бы на двух парах значений, чтобы избежать арифметической ошибки.

Как готовиться

Начните с чёткого запоминания всех формул раздела: магнитный поток, закон Фарадея, закон Ома для контура, связь заряда и потока, силы Ампера и Лоренца, ЭДС самоиндукции и энергия магнитного поля. Составьте таблицу «величина — формула — единица измерения», чтобы автоматически проверять единицы при подстановке.

Отдельно потренируйтесь на угол между вектором индукции и нормалью против угла между линиями поля и плоскостью — решите десяток задач именно на эту тонкость, пока не начнёте определять нужную тригонометрическую функцию автоматически.

Отработайте чтение графиков: $B(t)$, $\Phi(t)$, $I(t)$, $\Delta\Phi$–$\Delta q$. Для каждого типа графика научитесь быстро находить угловой коэффициент прямой (наклон) и связывать его с физической величиной — сопротивлением, ЭДС или скоростью изменения потока.

Повторите правило левой руки на конкретных задачах с указанием направления тока, поля и искомой силы — рисуйте векторы на бумаге, а не пытайтесь представлять их в голове.

Решайте задачи на самоиндукцию отдельно от задач на обычную индукцию, чтобы не путать причину возникновения ЭДС: внешнее поле или собственный изменяющийся ток.

В конце подготовки прогоните весь блок формул устно за одну-две минуты — на экзамене задание 12 должно решаться быстро, без долгих раздумий над тем, какую формулу применить.