Формальные описания и модели объектов и процессов — ОГЭ

Коротко о главном

Модель — это упрощённое представление объекта, процесса или системы, отражающее только существенные для решения задачи свойства. В ОГЭ чаще всего встречаются графовые модели (родство, дороги, турниры) и табличные/матричные модели, а также задачи на подсчёт количества объектов, путей или комбинаций.

Главная идея: реальный объект нельзя описать полностью, поэтому выбирают только нужные признаки — формализуют задачу в виде схемы, таблицы или графа, а затем решают её математически.

Определения и формулы/правила

Понятие	Смысл	Пример
Модель	Упрощённый образ объекта, сохраняющий нужные свойства	Карта города — модель местности
Формализация	Перевод задачи на строгий язык (граф, таблица, формула)	Родственные связи → граф
Граф	Набор вершин и рёбер, связывающих объекты	Вершины — города, рёбра — дороги
Ориентированный граф	Рёбра имеют направление (стрелки)	«А — родитель Б», не наоборот
Взвешенный граф	Рёбрам приписаны числа (веса)	Расстояние между городами
Матрица смежности	Таблица, где $a_{ij}=1$, если есть ребро между $i$ и $j$, иначе $0$	Используется для проверки связности

Число рёбер в графе через матрицу смежности: $$m = \frac{1}{2}\sum_{i,j} a_{ij}$$ (делим на 2, так как каждое ребро считается дважды — для строки и столбца).

Правило умножения (для подсчёта количества маршрутов, комбинаций, слов): $$N = n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_k$$ где $n_i$ — число вариантов на каждом независимом шаге.

Правило сложения: если варианты взаимоисключающие (нельзя выбрать оба одновременно), количество способов суммируется: $$N = n_1 + n_2$$

Для подсчёта количества путей между вершинами A и B через промежуточный пункт C: $$N_{A \to B} = N_{A \to C} \cdot N_{C \to B}$$

Как применять

Пример 1. Между городами А, Б, В есть дороги: А–Б, А–В, Б–В. Сколько прямых дорог (рёбер) в графе? Строим граф с тремя вершинами, соединяем попарно — получаем 3 ребра. Ответ: 3.

Пример 2. Таблица истинности задаёт связи: если $a_{12}=1$, $a_{13}=1$, $a_{23}=1$, остальные 0 (граф на 3 вершинах, симметричная матрица). Найти число рёбер. Сумма всех единиц в матрице = 6 (каждая связь считается дважды: $a_{12}$ и $a_{21}$, и т.д.). Делим на 2: $m = 6/2 = 3$ ребра.

Пример 3. Из города А в город Б можно доехать через С или через D. От А до С — 2 маршрута, от С до Б — 3 маршрута. От А до D — 1 маршрут, от D до Б — 2 маршрута. Сколько всего маршрутов из А в Б? Путь через С: $2 \cdot 3 = 6$. Путь через D: $1 \cdot 2 = 2$. Так как маршруты через С и через D не пересекаются — складываем: $6+2=8$ маршрутов.

Типичные ошибки

• Забывают делить сумму матрицы смежности на 2 при подсчёте числа рёбер — получают удвоенный результат.
• Путают правило умножения и сложения: умножают там, где нужно складывать (независимые альтернативные пути), и наоборот.
• Не учитывают направление рёбер в ориентированном графе — считают связь «в обе стороны», хотя дано только одно направление.
• Считают петли (ребро вершины с собой) и кратные рёбра как обычные, хотя условие может требовать их отдельного учёта.
• Путают вершины и рёбра при переводе таблицы в граф — неверно ставят связи между объектами.

Где встречается на экзамене

В задании 4 обычно даётся таблица истинности или матрица смежности графа, где нужно определить, какой граф ей соответствует, или посчитать количество рёбер/вершин. В задании 9 часто просят найти количество маршрутов между пунктами по графу дорог, применяя правило умножения и сложения, либо построить граф по словесному описанию связей и определить его характеристики.