Системы счисления: перевод и арифметика для ЕГЭ

Коротко о главном

Число в позиционной системе счисления с основанием $q$ записывается цифрами от $0$ до $q-1$, и каждая цифра имеет «вес» — степень основания. Перевод чисел и арифметика в других системах счисления — базовый навык для заданий 8 (обычно перевод, подсчёт цифр, свойства чисел) и 14 (уравнения, диапазоны значений в разных системах).

Определения и формулы/правила

Развёрнутая форма записи числа: $$A_q = a_n q^n + a_{n-1}q^{n-1} + \dots + a_1 q^1 + a_0 q^0$$

Пример: $101101_2 = 1\cdot32+0\cdot16+1\cdot8+1\cdot4+0\cdot2+1\cdot1 = 45_{10}$

Перевод из системы $q$ в десятичную — по развёрнутой форме (см. выше).

Перевод из десятичной в систему $q$ — деление нацело на $q$, остатки записываются в обратном порядке.

Число (10)	Деление на 2	Остаток
45	45÷2=22	1
	22÷2=11	0
	11÷2=5	1
	5÷2=2	1
	2÷2=1	0
	1÷2=0	1

Читаем остатки снизу вверх: $45_{10} = 101101_2$

Перевод между системами, связанными степенью 2 (2↔8, 2↔16):

Направление	Правило
2→8	Группировать по 3 бита справа, при необходимости дополнить нулями слева
2→16	Группировать по 4 бита справа
8→2	Каждую цифру заменить на 3 бита
16→2	Каждую цифру заменить на 4 бита

Пример: $10110101_2$ → по 4 бита: $1011\ 0101$ → $B5_{16}$

Соответствие цифр 16-й системы:

10	11	12	13	14	15
B	C	D	E	F	—
(A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15)

Количество цифр числа $N$ в системе с основанием $q$: $$k = \lfloor \log_q N \rfloor + 1$$

Максимальное число из $k$ цифр в системе $q$: $$N_{max} = q^k - 1$$

Арифметика в других системах — выполняется столбиком, как в десятичной, но перенос (заём) происходит при достижении основания $q$, а не 10.

Пример сложения в двоичной системе: $$1101_2 + 1011_2 = ?$$ Складываем как столбик: справа $1+1=10$ (пишем 0, переносим 1), далее $0+1+1=10$ (пишем 0, перенос 1), далее $1+0+1=10$ (пишем 0, перенос 1), далее $1+1+1=11$ (пишем 1, перенос 1), в конце сам перенос $1$. Результат: $11000_2$. Проверка: $13+11=24=11000_2$.

Как применять

Пример 1. Сколько цифр в записи числа $500_{10}$ в восьмеричной системе? $500 = 8^3\cdot0 + ...$; $8^3=512>500$, $8^2=64$. $500 \div 64 = 7$ (остаток $52$), $52\div8=6$ (остаток $4$). Число: $764_8$ — 3 цифры. Проверка через формулу: $\log_8 500 \approx 2.99$, значит $k=\lfloor2.99\rfloor+1=3$. Совпадает.

Пример 2. Дано число $x$ в системе с основанием $q$: $x = 2\cdot q^2 + 3\cdot q + 1$. При каком минимальном основании $q$ запись корректна (все цифры допустимы)? Цифры числа: $2, 3, 1$ — максимальная цифра $3$, значит основание должно быть больше максимальной цифры: $q \ge 4$. Минимальное $q=4$.

Пример 3. Найдите сумму $A_{16} + B_{16}$, где $A=10$, ответ дайте в десятичной системе. $A_{16}=10_{10}$, $B_{16}=11_{10}$. Сумма: $10+11=21_{10}$. В 16-й системе это $15_{16}$.

Типичные ошибки

• Забывают, что основание системы должно быть строго больше максимальной цифры в числе (в системе с основанием 5 не может быть цифры 5 или больше).
• При группировке битов для перевода 2→8 или 2→16 неправильно дополняют нулями (нужно слева, а не справа).
• Путают порядок записи остатков при переводе из десятичной системы — забывают читать снизу вверх.
• При арифметике столбиком в других системах используют перенос через 10, а не через основание системы (например, в троичной системе перенос идёт при сумме 3, а не 10).
• Ошибка в счёте цифр: забывают добавить $+1$ в формуле $k=\lfloor\log_q N\rfloor+1$.
• Путают буквенные обозначения цифр в 16-й системе (например, путают C=12 и D=13).

Где встречается на экзамене

В задании 8 часто требуется перевести число между системами счисления, посчитать количество цифр, найти диапазон значений или выполнить простую арифметику в позиционной системе. В задании 14 системы счисления сочетаются с логическими уравнениями и битовыми операциями — нужно уметь переводить числа между 2, 8, 16 системами и анализировать структуру записи (количество разрядов, значения отдельных цифр).