Задание 5 ЕГЭ: прикладные задачи на путешествия, квартиры, связь и тарифы

Что проверяет задание

Задание 5 проверяет умение применять простые математические модели к реальным житейским ситуациям: расчёт стоимости услуг связи по тарифу, вычисление площади и стоимости квартир или участков, расчёт расходов и параметров при путешествиях (расстояние, скорость, время, стоимость билетов, обмен валюты). По сути это задачи на арифметику и простейшую алгебру, «упакованные» в текстовое условие. Проверяется не столько знание сложных формул, сколько внимательность к условию, умение выделить нужные данные и не запутаться в единицах измерения.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка звучит так: «Оператор связи предоставляет тариф, по которому абонентская плата составляет столько-то рублей в месяц, а каждая минута сверх лимита стоит столько-то. Определите, сколько рублей необходимо заплатить за месяц при таком-то количестве минут». Или: «На плане участка изображён прямоугольник со сторонами... Найдите площадь участка в квадратных метрах». Или: «Путешественник преодолел расстояние на автомобиле со средней скоростью... за такое-то время. Найдите...».

Задание относится к части 1 экзамена, ответ — целое число или конечная десятичная дробь, записывается без указания единиц измерения (если не указано иное в условии). За правильный ответ даётся 1 балл. Никаких промежуточных вычислений проверяющий не видит — оценивается только итоговое число, поэтому важно довести решение до конца без арифметических ошибок.

Что нужно знать

• Формула стоимости связи при тарифе с абонентской платой и лимитом: если израсходовано минут $n$, лимит $n_0$, стоимость минуты сверх лимита $p$, абонентская плата $A$, то при $n \le n_0$ стоимость равна $A$, а при $n > n_0$ — $S = A + p\cdot(n - n_0)$.
• Перевод единиц: 1 час = 60 минут, 1 минута = 60 секунд, 1 сутки = 24 часа; 1 км = 1000 м; 1 га = 10000 м².
• Площадь прямоугольника: $S = a \cdot b$.
• Площадь прямоугольного треугольника: $S = \dfrac{1}{2}ab$, где $a,b$ — катеты.
• Площадь трапеции: $S = \dfrac{(a+b)}{2}\cdot h$.
• Площадь сложной фигуры на плане участка находится разбиением на прямоугольники и треугольники или вычитанием одной фигуры из другой.
• Клетка на плане обычно соответствует определённому числу метров (указывается в условии, часто 1 клетка = 1 м или несколько метров).
• Формула равномерного движения: $S = v \cdot t$, откуда $v = \dfrac{S}{t}$, $t = \dfrac{S}{v}$.
• При движении по расписанию нужно учитывать разницу во времени между пунктами (часовые зоны), если это указано в условии.
• Стоимость покупки при известной цене за единицу: $C = c \cdot n$, где $c$ — цена единицы, $n$ — количество единиц.
• При обмене валюты: сумма в новой валюте равна сумме в исходной валюте, умноженной на курс обмена, с учётом возможной комиссии.
• Округление в задачах на практические расчёты — по смыслу задачи: если спрашивают «сколько нужно заплатить», округление идёт в большую сторону (нельзя заплатить дробную часть требуемого); если спрашивают «сколько получится», округление обычное или в меньшую сторону — всё зависит от формулировки, нужно читать условие внимательно.

Методы решения

Метод 1. Прямая подстановка в формулу тарифа. Если известны все параметры тарифа и расход, значение просто вычисляется по формуле стоимости. Мини-пример: абонентская плата 300 руб. включает 500 минут, минута сверх лимита стоит 2 руб. При расходе 550 минут стоимость составит $300 + 2\cdot(550-500) = 300+100=400$ руб.

Метод 2. Разбиение фигуры на простые части (для планов участков и квартир). Сложную фигуру на плане делят на прямоугольники и треугольники, находят площадь каждой части и складывают (или вычитают, если одна часть — «вырез»). Мини-пример: участок в форме прямоугольника 10×8 клеток с вырезанным треугольным углом с катетами 2 и 3 клетки. Площадь равна $10\cdot 8 - \dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 3 = 80 - 3 = 77$ клеток, умножить на площадь одной клетки в квадратных метрах.

Метод 3. Составление и решение уравнения по описанному процессу (движение, время, расписание). Если известны часть данных о движении (расстояние, скорость или время), а нужно найти оставшуюся величину, используют формулу $S=vt$ и решают уравнение относительно неизвестной. Мини-пример: расстояние 240 км пройдено за 4 часа, средняя скорость составила $v = 240/4=60$ км/ч.

Метод 4. Сравнение вариантов тарифов или маршрутов. Иногда нужно посчитать стоимость по двум сценариям (например, два тарифа связи или два способа доехать) и выбрать более выгодный либо найти точку, где стоимости совпадают. Мини-пример: тариф А стоит 500 руб. без учёта минут, тариф Б — 200 руб. плюс 3 руб. за минуту. Тарифы совпадают, когда $500 = 200+3n$, откуда $n=100$ минут.

Метод 5. Учёт округления и целочисленности реальных величин. В задачах про билеты, номера в гостинице, минуты связи часто нужный ответ — целое число, и при делении нужно округлять в сторону, соответствующую смыслу задачи (обычно вверх, если считаем «сколько нужно», чтобы хватило). Мини-пример: если 1000 минут нужно распределить по пакетам по 300 минут, требуется $\lceil 1000/300 \rceil = 4$ пакета.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитать условие и выделить все числовые данные с указанием, что они означают (тариф, площадь клетки, скорость, время и т.д.).
2. Определить, что именно спрашивается в задаче — конечная величина и в каких единицах её нужно дать.
3. Проверить единицы измерения всех данных: перевести при необходимости минуты в часы, метры в километры, клетки в метры.
4. Выбрать подходящую формулу или разбить фигуру/процесс на простые составляющие.
5. Выполнить вычисления по частям, не торопясь объединять шаги, чтобы легче искать ошибку.
6. Сложить или вычесть части, если фигура/процесс состоял из нескольких этапов.
7. Проверить полученное число на здравый смысл: разумная ли это цена, разумная ли площадь участка, разумное ли время в пути.
8. Округлить ответ по смыслу задачи, если это требуется (в большую сторону для «сколько нужно заплатить/купить», иначе — как получилось).
9. Записать ответ в требуемом формате — целое число или десятичная дробь, без указания единиц, если не указано иное.

Разбор примеров

Пример 1. Тариф на связь. Условие: абонентская плата по тарифу составляет $350$ рублей в месяц, в эту плату включено $400$ минут разговора. Каждая минута сверх лимита стоит $3$ рубля. Пользователь проговорил за месяц $470$ минут. Сколько рублей он должен заплатить за месяц?

Шаг 1. Выделяем данные: $A = 350$, лимит $n_0 = 400$, $p = 3$ руб./мин, фактический расход $n = 470$ мин.

Шаг 2. Сравниваем расход с лимитом: $470 > 400$, значит, есть минуты сверх лимита.

Шаг 3. Считаем количество минут сверх лимита: $n - n_0 = 470 - 400 = 70$.

Шаг 4. Считаем доплату: $p\cdot(n-n_0) = 3\cdot 70 = 210$ рублей.

Шаг 5. Складываем с абонентской платой: $S = A + 210 = 350 + 210 = 560$ рублей.

Ответ: 560.

Пример 2. Площадь садового участка по плану. Условие: на плане участка изображён прямоугольник размером $12$ клеток на $9$ клеток, из которого вырезан прямоугольный треугольник с катетами $4$ клетки и $3$ клетки в одном из углов. Сторона одной клетки на плане соответствует $2$ метрам на местности. Найдите площадь участка в квадратных метрах.

Шаг 1. Находим площадь прямоугольника в клетках: $S_1 = 12 \cdot 9 = 108$ клеток.

Шаг 2. Находим площадь вырезанного треугольника в клетках: $S_2 = \dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 3 = 6$ клеток.

Шаг 3. Находим площадь участка в клетках: $S = S_1 - S_2 = 108 - 6 = 102$ клетки.

Шаг 4. Переводим в квадратные метры: одна клетка на плане имеет сторону $2$ метра, значит площадь одной клетки равна $2\cdot 2 = 4$ квадратных метра.

Шаг 5. Итоговая площадь: $S_{\text{площадь}} = 102 \cdot 4 = 408$ квадратных метров.

Ответ: 408.

Пример 3. Путешествие на автомобиле. Условие: автомобиль выехал из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми составляет $270$ км. Первую половину пути автомобиль проехал со средней скоростью $60$ км/ч, а вторую половину — со средней скоростью $90$ км/ч. Сколько минут потратил автомобиль на весь путь?

Шаг 1. Находим длину половины пути: $\dfrac{270}{2} = 135$ км.

Шаг 2. Находим время на первую половину пути: $t_1 = \dfrac{135}{60} = 2{,}25$ часа.

Шаг 3. Находим время на вторую половину пути: $t_2 = \dfrac{135}{90} = 1{,}5$ часа.

Шаг 4. Складываем общее время в часах: $t = t_1+t_2 = 2{,}25+1{,}5 = 3{,}75$ часа.

Шаг 5. Переводим в минуты: $3{,}75 \cdot 60 = 225$ минут.

Ответ: 225.

Типичные ошибки и ловушки

Частая ошибка — не заметить, что тариф предполагает лимит, и умножить всю сумму минут на цену без учёта абонентской платы или, наоборот, забыть вычесть лимит перед умножением на цену сверхлимитной минуты. Вторая типичная ошибка — путаница с единицами измерения: клетки на плане переводят в метры линейно, но забывают, что площадь клетки меняется квадратично (если сторона клетки в 2 раза больше, площадь клетки в 4 раза больше, а не в 2). Третья ошибка — неверный перевод часов в минуты или обратно при задачах на движение, особенно когда время получается дробным числом часов вроде 2,25. Четвёртая ошибка — неправильное округление: в задачах про количество пакетов минут, число билетов, число упаковок нужно округлять в большую сторону, даже если дробная часть маленькая, потому что купить «неполный» пакет нельзя. Пятая ошибка — потеря части площади при разбиении сложной фигуры: важно чётко понимать, вычитается фигура (вырез, угол) или прибавляется (дополнительная часть плана). Шестая ошибка — арифметические промахи при работе с большими числами без промежуточной проверки: рекомендуется проверять каждый шаг отдельно, а не считать всё «в одну строку».

Как готовиться

Лучший способ подготовки — прорешать большое количество задач каждой подтемы отдельно: сначала набрать серию задач на тарифы связи и убедиться, что формула с лимитом усвоена автоматически, затем перейти к задачам на площади участков по клетчатым планам, обращая особое внимание на перевод клеток в метры, и в конце — задачи на путешествия с разными скоростями на разных участках пути. Полезно вести таблицу «данные — что нужно найти — формула», чтобы вырабатывать привычку сначала выписывать все числа из условия, а потом решать. Стоит специально решать задачи с «неровными» числами, где ответ получается дробным или где нужно округление, чтобы не терять баллы на этом этапе. Рекомендуется регулярно повторять базовые формулы площади фигур и формулу равномерного движения, чтобы применять их не задумываясь. Финальный этап подготовки — тренировка на реальных вариантах ЕГЭ прошлых лет, чтобы привыкнуть к формулировкам заданий именно из этого номера и не тратить время экзамена на разбор непривычного текста.