Задание 17: Четырёхугольники, многоугольники и их элементы

В условии обычно даётся рисунок четырёхугольника с указанными числовыми данными: длина стороны, величина угла, длина диагонали или высоты. Требуется найти одну числовую характеристику — длину отрезка или градусную меру угла. Иногда просят перечислить несколько значений в определённом порядке (например, по возрастанию) и записать их без пробелов. Задание относится к базовому уровню сложности, за верный ответ даётся 1 балл. Единицы измерения в ответе не указываются — только число.

• Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.
• Параллелограмм: противоположные стороны равны и параллельны ($AB=CD$, $BC=AD$); противоположные углы равны; сумма соседних углов равна $180^\circ$; диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
• Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и являются биссектрисами его углов.
• Прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами. Диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам.
• Квадрат объединяет свойства ромба и прямоугольника: все стороны равны, все углы по $90^\circ$, диагонали равны, перпендикулярны и являются биссектрисами углов.
• Трапеция имеет два параллельных основания $a$ и $b$ и две боковые стороны. Сумма углов при боковой стороне равна $180^\circ$. Средняя линия трапеции $m=\dfrac{a+b}{2}$.
• Равнобедренная (равнобокая) трапеция: боковые стороны равны, углы при каждом основании равны друг другу, диагонали равны.
• Площадь параллелограмма: $S=a\cdot h$, где $h$ — высота, опущенная на сторону $a$.
• Площадь ромба: $S=\dfrac{d_1\cdot d_2}{2}$ или $S=a^2\sin\alpha$.
• Площадь трапеции: $S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$.
• В прямоугольном треугольнике: $\cos\alpha=\dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$, $\sin\alpha=\dfrac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}}$, теорема Пифагора $c^2=a^2+b^2$.

1. Определить, какой четырёхугольник дан (ромб, прямоугольник, параллелограмм или трапеция), и выписать все известные величины.
2. Вспомнить, какое свойство фигуры связывает данные величины с искомой (сумма углов, диагональ-биссектриса, средняя линия и т.д.).
3. Если требуется найти длину отрезка через угол, построить вспомогательный прямоугольный треугольник, определив, какая сторона фигуры служит гипотенузой, а какой отрезок — катетом.
4. Применить нужную формулу — тригонометрическое соотношение, теорему Пифагора или свойство суммы углов.
5. Проверить полученный результат на соответствие условию (например, отрезок не может быть больше стороны) и, если требуется, расположить несколько ответов в указанном порядке (по возрастанию или убыванию) без пробелов.