Задание 8 ОГЭ: запросы для поисковых систем с логическими операциями

Что проверяет задание

Задание 8 ОГЭ по информатике проверяет умение работать с логическими операциями «И» (&) и «ИЛИ» (|) в языке поисковых запросов и связывать их с операциями над множествами — пересечением и объединением. По сути, проверяется, понимаешь ли ты, что количество страниц, найденных по сложному запросу, не складывается «в лоб», а вычисляется через формулу включений и исключений.

Задача всегда сводится к одному и тому же: дана таблица с количеством найденных страниц по нескольким запросам (одно слово, два слова через «И» или «ИЛИ»), и нужно найти недостающее значение — количество страниц по запросу, которого нет в таблице.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типовая формулировка звучит так: «В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет. Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов». Далее идёт таблица из 2–3 строк с известными данными, и вопрос: сколько страниц будет найдено по такому-то запросу.

Задание относится к части 1, ответ — целое число (тысячи страниц), задание оценивается в 1 балл. Времени на него обычно уходит 2–4 минуты, если знать формулу.

Что нужно знать

• Символ «|» обозначает логическое «ИЛИ» (объединение множеств страниц, содержащих хотя бы одно из слов).
• Символ «&» обозначает логическое «И» (пересечение множеств страниц, содержащих оба слова одновременно).
• Основная формула — формула включений и исключений для двух множеств: $$N(A \cup B) = N(A) + N(B) - N(A \cap B)$$ где $N(A \cup B)$ — количество страниц по запросу «A | B», $N(A)$ и $N(B)$ — количество страниц по одиночным запросам, $N(A \cap B)$ — количество страниц по запросу «A & B».
• Из этой формулы легко получить две производные: $$N(A \cap B) = N(A) + N(B) - N(A \cup B)$$ $$N(A) = N(A \cup B) - N(B) + N(A \cap B)$$
• Для трёх слов формула усложняется (включение-исключение для трёх множеств): $$N(A \cup B \cup C) = N(A)+N(B)+N(C)-N(A\cap B)-N(A\cap C)-N(B\cap C)+N(A\cap B\cap C)$$
• Условие задачи всегда подчёркивает, что все запросы выполнялись одновременно — это гарантия, что множество страниц с обоими словами не менялось между запросами, и формулы применимы без поправок на время.
• Числа в таблице обычно даны в тысячах — важно сохранять единицы измерения при вычислениях и в ответе.
• Если в задаче есть запрос с двумя словами без операции (просто «слово1 слово2»), по умолчанию в большинстве вариантов это трактуется как «И» — уточняй условие.

Методы решения

Метод 1. Прямое применение формулы для одного неизвестного при двух словах. Если известны $N(A)$, $N(B)$ и $N(A \cup B)$, а нужно найти $N(A \cap B)$, используем: $$N(A \cap B) = N(A) + N(B) - N(A \cup B)$$ Мини-пример: $N(A)=100$, $N(B)=80$, $N(A\cup B)=150$. Тогда $N(A\cap B)=100+80-150=30$.

Метод 2. Нахождение объединения по известным пересечению и одиночным запросам. Если известны $N(A)$, $N(B)$, $N(A\cap B)$, а нужно найти «ИЛИ»: $$N(A\cup B) = N(A)+N(B)-N(A\cap B)$$ Мини-пример: $N(A)=200$, $N(B)=150$, $N(A\cap B)=50$. Тогда $N(A\cup B)=200+150-50=300$.

Метод 3. Работа с одним словом через известные составные запросы. Если известны $N(A\cup B)$, $N(A\cap B)$ и $N(B)$, а нужно найти $N(A)$: $$N(A) = N(A\cup B) + N(A\cap B) - N(B)$$ Мини-пример: $N(A\cup B)=500$, $N(A\cap B)=40$, $N(B)=300$. Тогда $N(A)=500+40-300=240$.

Метод 4. Диаграмма Венна как проверка вычислений. Рисуем два пересекающихся круга, в область пересечения ставим $N(A\cap B)$, в оставшиеся части кругов — «чистые» доли слов $A$ и $B$ (то есть $N(A)-N(A\cap B)$ и $N(B)-N(A\cap B)$). Сумма всех трёх областей даёт $N(A\cup B)$. Это удобно для самопроверки и для задач с тремя словами, где легко запутаться. Мини-пример: $N(A)=90$, $N(B)=70$, $N(A\cap B)=20$. Чистая часть $A$: $90-20=70$; чистая часть $B$: $70-20=50$; сумма всех трёх зон: $70+50+20=140=N(A\cup B)$.

Метод 5. Расширение на три слова через включение-исключение. Если запрос состоит из трёх слов, аккуратно подставляем все известные значения в формулу для трёх множеств и находим единственное неизвестное. Здесь важно не забыть слагаемые с минусом (пересечения пар) и плюс в конце (тройное пересечение). Мини-пример (упрощённый): если из семи величин в формуле неизвестна только $N(A\cap B\cap C)$, выражаем её из общей суммы: $N(A\cap B\cap C) = N(A\cup B\cup C) - N(A)-N(B)-N(C)+N(A\cap B)+N(A\cap C)+N(B\cap C)$.

Алгоритм решения по шагам

1. Выпиши из таблицы все известные запросы и соответствующие им числа, обозначив слова буквами $A$, $B$ (и $C$, если слово третье).
2. Определи, какая величина неизвестна — это и есть искомый запрос в вопросе задачи.
3. Определи тип неизвестной величины: одиночное слово, пересечение («И») или объединение («ИЛИ»).
4. Выбери подходящую формулу включений-исключений (для двух или трёх слов) и подставь известные значения.
5. Выполни арифметику аккуратно, следя за знаками «плюс» и «минус» в формуле.
6. Проверь результат на здравый смысл: пересечение не может быть больше меньшего из одиночных запросов; объединение не может быть меньше большего из одиночных запросов и не может превышать сумму одиночных запросов.
7. Запиши ответ в тех же единицах, что указаны в таблице (обычно тысячи страниц), без указания самой единицы измерения, если требуется только число.

Разбор примеров

Пример 1. Даны запросы: «Угол | Прямая» — 180 тысяч страниц, «Угол» — 60 тысяч, «Прямая» — 140 тысяч. Нужно найти «Угол & Прямая».

Шаг 1. Обозначим $A$ — «Угол», $B$ — «Прямая». Известно: $N(A)=60$, $N(B)=140$, $N(A\cup B)=180$.

Шаг 2. Искомая величина — $N(A\cap B)$, то есть пересечение (запрос с «&»).

Шаг 3. Применяем формулу: $$N(A\cap B) = N(A)+N(B)-N(A\cup B)$$

Шаг 4. Подставляем числа: $$N(A\cap B) = 60+140-180 = 20$$

Шаг 5. Проверка: пересечение (20) меньше и меньшего одиночного запроса (60), и большего (140) — логично. Ответ: 20.

Пример 2. Даны запросы: «Швеция» — 3200, «Финляндия» — 2300, «Швеция & Финляндия» — 100. Нужно найти «Швеция | Финляндия».

Шаг 1. Обозначим $A$ — «Швеция», $B$ — «Финляндия». Известно: $N(A)=3200$, $N(B)=2300$, $N(A\cap B)=100$.

Шаг 2. Искомая величина — $N(A\cup B)$, объединение (запрос с «|»).

Шаг 3. Применяем формулу: $$N(A\cup B) = N(A)+N(B)-N(A\cap B)$$

Шаг 4. Подставляем числа: $$N(A\cup B) = 3200+2300-100 = 5400$$

Шаг 5. Проверка: объединение (5400) больше каждого из одиночных запросов и меньше их простой суммы (5500) — всё логично, ведь мы вычли повторно посчитанное пересечение. Ответ: 5400.

Пример 3. Даны запросы: «Пушкин» — 3500, «Лермонтов» — 2000, «Пушкин | Лермонтов» — 4500. Нужно найти «Пушкин & Лермонтов».

Шаг 1. Обозначим $A$ — «Пушкин», $B$ — «Лермонтов». Известно: $N(A)=3500$, $N(B)=2000$, $N(A\cup B)=4500$.

Шаг 2. Искомая величина — $N(A\cap B)$, пересечение.

Шаг 3. Применяем формулу: $$N(A\cap B) = N(A)+N(B)-N(A\cup B)$$

Шаг 4. Подставляем числа: $$N(A\cap B) = 3500+2000-4500 = 1000$$

Шаг 5. Проверка: сумма одиночных запросов $3500+2000=5500$ больше объединения $4500$ — это ожидаемо, так как какие-то страницы содержат оба слова и были посчитаны в обеих суммах по разу. Разница $5500-4500=1000$ — это и есть та «лишняя» пересчитанная область, то есть пересечение. Ответ: 1000.

Типичные ошибки и ловушки

• Путаница знаков в формуле: часто по ошибке складывают все три числа вместо вычитания пересечения при поиске объединения, или наоборот, забывают вычесть при поиске одиночного слова.
• Неверное определение искомой величины: важно чётко понять из вопроса, что ищется — «И», «ИЛИ» или одиночное слово, и не перепутать формулу.
• Игнорирование проверки на здравый смысл: если после вычислений пересечение получилось больше одного из одиночных запросов — где-то ошибка в знаках или в подстановке чисел.
• Ошибки при переносе чисел из таблицы: важно правильно соотнести строки таблицы с обозначениями $A$, $B$, $C$ — легко перепутать, к какому слову какое число относится, особенно если таблица дана компактно.
• Забывание единиц измерения: если в таблице числа даны «в тысячах», ответ тоже должен быть в тысячах, но записывается как чистое число без указания единицы, если в задании не сказано иначе.
• Для задач с тремя словами — упрощение формулы, забывание слагаемых с тройным пересечением или пар пересечений, что даёт неверный итоговый результат.
• Невнимательность к обозначениям операций: символы «|» и «&» могут в отдельных вариантах задаваться иначе (например, OR и AND словами), нужно всегда сверяться с условием конкретной задачи, а не с шаблоном из памяти.

Как готовиться

Лучший способ закрепить тему — сначала выучить формулу включений-исключений наизусть и уметь выводить из неё все три производные формы (для поиска объединения, пересечения и одиночного слова). После этого стоит решить подряд 10–15 задач разного типа: с двумя словами на «И», с двумя словами на «ИЛИ», и отдельно потренироваться на задачах с тремя словами, где формула сложнее.

Полезно каждый раз перед вычислением рисовать простую диаграмму Венна — это помогает избежать ошибок в знаках и визуально проверить, логичен ли результат. После получения ответа обязательно делай проверку на здравый смысл: сравнивай полученное число с исходными данными по величине.

Также важно тренироваться быстро определять по формулировке вопроса, какая именно операция скрыта за словами «сколько страниц найдено по запросу» — «И», «ИЛИ» или просто одно слово. Чем больше решённых задач разного типа, тем быстрее распознаётся структура задачи на экзамене, и решение занимает не больше двух-трёх минут.