Номер 2.75 — ГДЗ математика 6 класс Виленкин
№ 2.75.
Существует ли четыре таких различных простых числа, что произведение двух из них равно произведению двух других?
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни основную теорему арифметики: разложение каждого натурального числа на простые множители единственно. Что это значит для произведения двух простых чисел? Может ли оно равняться произведению других двух простых чисел?
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Проверим, может ли быть такая ситуация, когда произведение двух простых чисел равно произведению двух других простых чисел.
Предположим, что a, b, c, d — четыре различных простых числа, и a · b = c · d.
Вспомним основную теорему арифметики: каждое натуральное число имеет единственное разложение на простые множители (порядок множителей не важен).
Если a · b = c · d, где все четыре числа — простые, то число a · b имеет ровно два простых делителя: a и b.
Левая часть (a · b) имеет разложение: a · b
Правая часть (c · d) имеет разложение: c · d
По теореме о единственности разложения эти разложения должны быть одинаковыми (с точностью до порядка). То есть множество {a, b} должно совпадать с множеством {c, d}.
Но по условию все четыре числа различны. Получается противоречие!
Значит, такие четыре различных простых числа не существуют.