Номер 971 — ГДЗ математика 6 класс Мерзляк
№ 971.
На столе стоят семь стаканов – все вверх дном.
За один ход разрешается перевернуть любые четыре стакана.
Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?
💡 Подсказка (без ответа)
Подумай, на какое число изменяется количество правильно стоящих стаканов за один ход. Почему это число всегда чётное? Сможешь ли ты получить нечётное число правильных стаканов, если начал с нуля?
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Решим эту задачу пошагово.
Шаг 1: Разберёмся, что происходит с каждым ходом. В каждом ходе мы переворачиваем ровно 4 стакана. Каждый стакан может быть либо в положении "вверх дном" (П), либо в положении "правильно" (В).
Шаг 2: Введём счётчик. Считаем, сколько стаканов стоят правильно (вверх, а не дном).
- Вначале: 0 стаканов правильно (все вверх дном)
- Цель: 7 стаканов правильно
Шаг 3: Проанализируем, как меняется количество правильно стоящих стаканов. Когда мы переворачиваем 4 стакана:
- Если стакан был вверх дном, он становится правильным (+1)
- Если стакан был правильным, он становится вверх дном (-1)
Пусть среди 4 переворачиваемых стаканов:
- k стаканов были правильными
- (4-k) стаканов были вверх дном
Тогда количество правильных стаканов изменится на: (4-k) - k = 4 - 2k
Шаг 4: Заметим закономерность. Количество правильных стаканов каждый ход изменяется на чётное число (4-2k всегда чётно):
- 0 стаканов правильно → изменение на ±4, ±2 или 0
- Получается: 0, 4, 2 или 4, 2, 0, 2, 4...
Шаг 5: Проверим чётность. Если количество правильных стаканов всегда меняется на чётное число, то:
- Начало: 0 (чётное число)
- После 1-го хода: чётное ± чётное = чётное
- После 2-го хода: чётное ± чётное = чётное
- И так далее...
Значит, количество правильно стоящих стаканов всегда будет ЧЁТНЫМ.
Шаг 6: Вывод. Число 7 — нечётное. Поскольку правильных стаканов всегда чётное количество, мы никогда не сможем добиться, чтобы правильными были все 7 стаканов.