Номер 1174 — ГДЗ математика 6 класс Мерзляк
№ 1174.
В Российской Премьер-Лиге выступают 16 футбольных команд. Докажите, что в любой момент чемпионата есть две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей. (Команды, не сыгравшие ни одного матча, считают сыгравшими одинаковое количество матчей.)
💡 Подсказка (без ответа)
Подумай, какие значения (от 0 до 15 матчей) могут одновременно существовать. Заметь противоречие: если одна команда сыграла 0 матчей, может ли другая сыграть 15? Сколько получится различных возможных количеств матчей? Примени принцип Дирихле: у тебя есть 16 команд и 15 (или меньше) разных вариантов.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Докажем это утверждение, используя принцип Дирихле (принцип ящиков).
Шаг 1. Определим возможное количество матчей.
Каждая команда может сыграть от 0 до 15 матчей (так как в лиге 16 команд, и команда не играет сама с собой).
Шаг 2. Заметим важное свойство.
Если в лиге есть команда, сыгравшая 0 матчей, то не может быть команды, сыгравшей 15 матчей. Почему? Потому что команда, сыгравшая 15 матчей, должна была сыграть со ВСЕМИ 15 соперниками, включая ту команду, которая не сыграла ни одного матча. Это противоречие.
Шаг 3. Применим принцип Дирихле.
Получается, что возможные количества матчей — это не все числа от 0 до 15.
— Либо количества матчей: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 (всего 15 вариантов, исключаем 15)
— Либо количества матчей: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 (всего 15 вариантов, исключаем 0)
Шаг 4. Заключение.
В обоих случаях у нас есть не более 15 различных возможных значений для количества матчей, а команд в лиге 16.
По принципу Дирихле: если распределяем 16 команд по 15 «ящикам» (возможные количества матчей), то хотя бы в одном «ящике» будут две команды.
Это означает, что две команды обязательно сыграли одинаковое количество матчей.