Номер 958 — ГДЗ геометрия 7 класс Атанасян
№ 958.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулу расстояния между двумя точками на координатной плоскости: расстояние² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)². Найди расстояния от точки M до каждой вершины прямоугольника, раскрой скобки и сравни обе части.
Решение по шагам
Это задача на применение теоремы Пифагора к координатной плоскости. Разберёмся пошагово.
Дано:
- Прямоугольник ABCD с вершинами A(0;0), B(a;0), C(a;b), D(0;b)
- М — произвольная точка
- M(x;y)
Найти: Доказать, что AM² + CM² = BM² + DM²
Решение:
Найдём AM² — расстояние от A(0;0) до M(x;y): AM² = (x - 0)² + (y - 0)² = x² + y²
Найдём BM² — расстояние от B(a;0) до M(x;y): BM² = (x - a)² + (y - 0)² = (x - a)² + y²
Найдём CM² — расстояние от C(a;b) до M(x;y): CM² = (x - a)² + (y - b)²
Найдём DM² — расстояние от D(0;b) до M(x;y): DM² = (x - 0)² + (y - b)² = x² + (y - b)²
Вычислим левую часть AM² + CM²: AM² + CM² = x² + y² + (x - a)² + (y - b)² = x² + y² + x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = 2x² + 2y² - 2ax - 2by + a² + b²
Вычислим правую часть BM² + DM²: BM² + DM² = (x - a)² + y² + x² + (y - b)² = x² - 2ax + a² + y² + x² + y² - 2by + b² = 2x² + 2y² - 2ax - 2by + a² + b²
Вывод: AM² + CM² = BM² + DM²
Левая часть равна правой части. Равенство доказано!