Используй свойство средней линии треугольника: если соединить середины двух сторон треугольника, то получишь отрезок, параллельный третьей стороне и равный её половине. Рассмотри четыре треугольника, которые образуются диагоналями четырёхугольника ABCD.

Задание №905

Дано:

ABCD - четырёхугольник; точки E, F, G, H - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

Найти: вид четырёхугольника EFGH?

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABC и середину AB:

Е - середина AB, F - середина BC.

По свойству средней линии треугольника: отрезок EF, соединяющий середины двух сторон треугольника ABC, параллелен третьей стороне AC и равен половине её длины.

Значит: EF параллелен AC и EF = 1/2 · AC

2. Рассмотрим треугольник ACD и его стороны:

H - середина AD, G - середина CD.

По той же теореме: отрезок HG параллелен AC и равен половине его длины.

Значит: HG параллелен AC и HG = 1/2 · AC

3. Рассмотрим треугольник ABD:

E - середина AB, H - середина AD.

Отсюда: EH параллелен BD и EH = 1/2 · BD

4. Рассмотрим треугольник BCD:

F - середина BC, G - середина CD.

Отсюда: FG параллелен BD и FG = 1/2 · BD

5. Вывод:

• EF параллелен HG и EF = HG = 1/2 · AC
• EH параллелен FG и EH = FG = 1/2 · BD

По определению: если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно параллельны и равны, то это параллелограмм.

Ответ: EFGH - параллелограмм.