Номер 859 — ГДЗ геометрия 7 класс Атанасян

Вспомни теорему о средней линии треугольника: средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине. Попробуй провести диагонали четырёхугольника и рассмотри треугольники, которые они образуют.

Решение задачи №859

Дано:

• Четырёхугольник ABCD
• M, P, T, N — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно
• MB = средняя линия треугольника
• Нужно доказать свойства средней линии

Решение:

1) Докажем, что AB || CD и BC || AD

По условию задачи M, P, T, N — середины сторон четырёхугольника.

Рассмотрим треугольник ABC:

• M — середина AB
• P — середина BC
• Значит, MP — средняя линия треугольника ABC
• По свойству средней линии: MP || AC и MP = 1/2 · AC

Рассмотрим треугольник ACD:

• T — середина CD
• N — середина DA
• Значит, NT — средняя линия треугольника ACD
• По свойству средней линии: NT || AC и NT = 1/2 · AC

Из этого следует: MP || NT и MP = NT

2) Аналогично для другой пары сторон

Рассмотрим треугольник ABD:

• M — середина AB
• N — середина AD
• Значит, MN — средняя линия, MN || BD и MN = 1/2 · BD

Рассмотрим треугольник BCD:

• P — середина BC
• T — середина CD
• Значит, PT — средняя линия, PT || BD и PT = 1/2 · BD

Из этого следует: MN || PT и MN = PT

3) Вывод

Поскольку MP || NT и MN || PT, четырёхугольник MPTN — параллелограмм (по определению, противоположные стороны параллельны и равны).