Номер 665 — ГДЗ геометрия 7 класс Атанасян
№ 665.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй свойства равнобедренных треугольников. Заметь, что OA = OC = OB как радиусы. Найди связь между углами треугольников AOC и BOC через тот факт, что AOB — развёрнутый угол (180°).
Решение по шагам
Дано: окружность с центром O, точки A, B, C лежат на окружности, AB — диаметр.
Найти: доказать, что угол ACB = 90°.
Доказательство:
Поскольку AB — диаметр окружности, центр O лежит на отрезке AB.
Соединим точку C с центром O. Получим два радиуса: OA = OC = OB (все радиусы одной окружности равны).
Рассмотрим треугольник AOC. Так как OA = OC, треугольник AOC — равнобедренный. Значит, угол OAC = углу OCA (обозначим его α).
Рассмотрим треугольник BOC. Так как OB = OC, треугольник BOC — равнобедренный. Значит, угол OBC = углу OCB (обозначим его β).
В треугольнике ABC угол ACB = угол OCA + угол OCB = α + β.
В треугольнике AOC: угол AOC + α + α = 180°, откуда угол AOC = 180° − 2α.
В треугольнике BOC: угол BOC + β + β = 180°, откуда угол BOC = 180° − 2β.
Поскольку точки A, O, B лежат на одной прямой (AB — диаметр), угол AOC + угол BOC = 180°.
Подставляем: (180° − 2α) + (180° − 2β) = 180°
360° − 2α − 2β = 180°
2α + 2β = 180°
α + β = 90°
Следовательно, угол ACB = 90°.
Что и требовалось доказать.