Номер 573 — ГДЗ геометрия 7 класс Атанасян
№ 573.
💡 Подсказка (без ответа)
Обратите внимание на подобные треугольники, которые образуются, когда проводится высота из прямого угла к гипотенузе. Сравните треугольник ABC с каждым из двух меньших треугольников и составьте пропорции для соответствующих сторон.
Решение по шагам
Дано: треугольник ABC, CH — высота, проведённая к гипотенузе AB.
Нужно доказать, что:
- a = √(ae · c), где a = BC, ae = HB, c = AB
- b = √(bc · c), где b = AC, bc = AH, c = AB
- h = √(ae · bc), где h = CH
Решение:
Шаг 1. Рассмотрим треугольник ABC — прямоугольный (угол C = 90°).
Высота CH делит его на два меньших треугольника: ABH и BCH.
Шаг 2. Треугольники ABC и HBC подобны (по двум углам):
- Угол B — общий
- Угол ACB = угол CHB = 90°
Из подобия составляем пропорцию: BC/AB = HB/BC
Отсюда: BC² = AB · HB
В обозначениях задачи: a² = c · ae
Шаг 3. Аналогично, треугольники ABC и AHC подобны:
- Угол A — общий
- Угол ACB = угол AHC = 90°
Из подобия: AC/AB = AH/AC
Отсюда: AC² = AB · AH
В обозначениях: b² = c · bc
Шаг 4. Для высоты CH используем подобие треугольников CHB и CHA: CH/AH = HB/CH
Отсюда: CH² = AH · HB
В обозначениях: h² = bc · ae
Вывод: все три формулы доказаны.