Номер 569 — ГДЗ геометрия 7 класс Атанасян
№ 569.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначьте стороны прямоугольника и используйте теорему о средней линии треугольника для каждой стороны четырёхугольника MNEF. Вспомните, что диагонали прямоугольника равны между собой.
Решение по шагам
Разбираем задачу № 569 пошагово.
Дано:
- АВСD — прямоугольник
- М, N, E, F — середины сторон АВ, ВС, СD, DА соответственно
- Нужно доказать, что MNEF — ромб
Решение:
Сначала найдём длины сторон четырёхугольника MNEF через стороны прямоугольника. Обозначим АВ = а и ВС = b.
Найдём MN (сторона четырёхугольника). М — середина АВ, N — середина ВС. По теореме о средней линии треугольника АВС: MN = 1/2 · АС
Найдём NE. N — середина ВС, E — середина СD. По теореме о средней линии треугольника ВСD: NE = 1/2 · BD
Найдём EF. E — середина СD, F — середина DА. По теореме о средней линии треугольника АСD: EF = 1/2 · АС
Найдём FM. F — середина DА, М — середина АВ. По теореме о средней линии треугольника АВD: FM = 1/2 · BD
В прямоугольнике диагонали равны: АС = BD
Следовательно: MN = 1/2 · АС NE = 1/2 · BD = 1/2 · АС EF = 1/2 · АС FM = 1/2 · BD = 1/2 · АС
Получилось: MN = NE = EF = FM
Четырёхугольник, у которого все стороны равны, — это ромб.
Что и требовалось доказать.