Номер 315 — ГДЗ геометрия 7 класс Атанасян
№ 315.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй подобие треугольников AMC и DMB. Докажи, что они подобны по двум углам (вертикальные углы и углы, опирающиеся на одну дугу). Затем запиши пропорцию для сторон подобных треугольников.
Решение по шагам
Решение по шагам:
Построим окружность с центром O и проведём две хорды AB и CD, которые пересекаются в точке M внутри окружности.
Рассмотрим треугольники AMC и DMB:
- Угол AMC = углу DMB (как вертикальные углы)
- Угол CAM = углу BDM (как углы, опирающиеся на одну дугу CB из точек A и D)
- Угол ACM = углу DBM (как углы, опирающиеся на одну дугу AD из точек C и B)
Следовательно, треугольник AMC подобен треугольнику DMB по трём углам (по AA).
Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: AM/DM = CM/BM = AC/DB
Перепишем первое соотношение: AM/DM = CM/BM
Отсюда получаем: AM · BM = CM · DM
Это и есть требуемое равенство: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Ответ: Доказано: AM · BM = CM · DM (произведение отрезков пересекающихся хорд равны)