Номер 280 — ГДЗ геометрия 7 класс Атанасян

Проведи из точки на биссектрисе перпендикуляры к обеим сторонам угла. Затем рассмотри два получившихся прямоугольных треугольника и докажи их равенство.

Задание № 280

Дано:

∠ABC - прямоугольный (90°) PQ - открыт

Найти:

Доказать, что все точки биссектрисы угла ABC равноудалены от сторон BC и BA

Решение:

Шаг 1. Проведем из произвольной точки D на биссектрисе угла ABC перпендикуляры к обеим сторонам угла. Обозначим эти перпендикуляры как DM и DN, где M лежит на BA, N лежит на BC.

Шаг 2. Рассмотрим два треугольника: △BDM и △BDN.

Шаг 3. В этих треугольниках:

• ∠BMD = ∠BND = 90° (по определению перпендикуляра)
• ∠DBM = ∠DBN (потому что BD - биссектриса угла ABC)
• BD - общая сторона

Шаг 4. По признаку равенства треугольников (гипотенуза и острый угол) △BDM = △BDN.

Шаг 5. Из равенства треугольников следует: DM = DN

Вывод: Любая точка на биссектрисе угла находится на одинаковом расстоянии от обеих сторон этого угла.