Номер 246 — ГДЗ геометрия 7 класс Атанасян
№ 246.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни, что каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла. Примени это свойство последовательно к трём углам треугольника и покажи, что точка пересечения двух биссектрис равноудалена от всех трёх сторон.
Решение по шагам
Это задача на свойства биссектрис треугольника. Нужно доказать, что биссектрисы треугольника АВС пересекаются в одной точке (точке О).
Дано: Треугольник АВС ВО — биссектриса угла В СО — биссектриса угла С ОЕ и ОД — перпендикуляры к сторонам
Докажем пошагово:
Рассмотрим биссектрисы ВО и АО — они пересекаются в точке О. По свойству биссектрисы: расстояния от точки О до сторон угла В равны. То есть расстояния от О до ВА и от О до ВС одинаковые.
Аналогично, биссектриса СО имеет свойство: расстояния от точки О до сторон угла С равны (расстояния до СА и до СВ одинаковые).
Так как точка О лежит на биссектрисе угла В, то расстояние от О до стороны ВА равно расстоянию от О до стороны ВС.
Так как точка О лежит на биссектрисе угла С, то расстояние от О до стороны СА равно расстоянию от О до стороны СВ.
Отсюда следует: расстояния от точки О до всех трёх сторон треугольника АВС равны между собой. Это означает, что точка О одинаково удалена от всех сторон треугольника.
Следовательно, точка О лежит также на биссектрисе угла А. Значит, все три биссектрисы пересекаются в одной точке О.
Что и требовалось доказать.