Используй формулы для правильного многоугольника: сторона Aₙ = 2R · sin(180°/n), апофема c = R · cos(180°/n) и площадь S = (1/2) · P · c, где P — периметр, R — радиус описанной окружности.

Решение задачи №1094

Дано

А₁А₂...Aₙ - правильный и-угольник

Найти: S

Пункт а) n = 4; R = 3√2 см; S = ?

Решение:

1. Для правильного четырёхугольника (квадрата) применяем формулу: Aₙ = 2R · sin(180°/n) = 2 · 3√2 · sin(45°) = 2 · 3√2 · (√2/2) = 6 см

2. Периметр P = 4 · Aₙ = 4 · 6 = 24 см

3. Апофема (расстояние от центра до середины стороны): c = R · cos(180°/4) = 3√2 · cos(45°) = 3√2 · (√2/2) = 3 см

4. Площадь S = (1/2) · P · c = (1/2) · 24 · 3 = 36 см²

Пункт б) n = 3; P = 24 см; S = ?

Решение:

1. Периметр P = 3 · A₃, отсюда: A₃ = 24/3 = 8 см

2. Из формулы Aₙ = 2R · sin(180°/n) найдём R: 8 = 2R · sin(60°) 8 = 2R · (√3/2) R = 8/√3 см

3. Апофема: c = R · cos(180°/3) = (8/√3) · cos(60°) = (8/√3) · (1/2) = 4/√3 см

4. Площадь: S = (1/2) · P · c = (1/2) · 24 · (4/√3) = 48/√3 = 48√3/3 = 16√3 см²