Номер 878 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 878.
Решите уравнение с двумя переменными х2 + 2$$\sqrt{3}$$х + у – 4$$\sqrt{у}$$ + 7 = 0.
💡 Подсказка (без ответа)
Перепишите уравнение, выделив переменные x и y. Попробуйте дополнить каждую группу до полного квадрата: для x получится (x + √3)², для y — используйте замену √y = t и получите (√y – 2)².
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Решим уравнение x² + 2√3·x + y – 4√y + 7 = 0.
Шаг 1. Сгруппируем слагаемые с x и с y отдельно: (x² + 2√3·x) + (y – 4√y) + 7 = 0
Шаг 2. Дополним до полных квадратов.
Для x: x² + 2√3·x Это часть квадрата (x + √3)² = x² + 2√3·x + 3 Значит: x² + 2√3·x = (x + √3)² – 3
Для y: y – 4√y Обозначим √y = t (где t ≥ 0), тогда y = t² Получим: t² – 4t Это часть квадрата (t – 2)² = t² – 4t + 4 Значит: t² – 4t = (t – 2)² – 4 Или: y – 4√y = (√y – 2)² – 4
Шаг 3. Подставим в исходное уравнение: (x + √3)² – 3 + (√y – 2)² – 4 + 7 = 0
Шаг 4. Упростим: (x + √3)² + (√y – 2)² – 3 – 4 + 7 = 0 (x + √3)² + (√y – 2)² = 0
Шаг 5. Сумма двух квадратов равна нулю только если каждый квадрат равен нулю: (x + √3)² = 0 и (√y – 2)² = 0
Отсюда: x + √3 = 0 → x = –√3 √y – 2 = 0 → √y = 2 → y = 4