Номер 874 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 874.
Три целых числа составляют арифметическую прогрессию, первый член которой 1. Если ко второму члену прибавить 3, а третий возвести в квадрат, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь три члена арифметической прогрессии через первый член (он равен 1) и разность d. Затем запиши условие, что после преобразований получится геометрическая прогрессия, и используй свойство геометрической прогрессии (квадрат среднего члена равен произведению крайних).
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим три целых числа, которые составляют арифметическую прогрессию.
Первый член: a₁ = 1 Второй член: a₂ = 1 + d Третий член: a₃ = 1 + 2d
где d — разность арифметической прогрессии.
По условию, если ко второму члену прибавить 3, а третий возвести в квадрат, получится геометрическая прогрессия. То есть:
Первый член геометрической прогрессии: 1 Второй член геометрической прогрессии: (1 + d) + 3 = 4 + d Третий член геометрической прогрессии: (1 + 2d)²
Для геометрической прогрессии выполняется свойство: квадрат среднего члена равен произведению крайних членов.
(4 + d)² = 1 · (1 + 2d)²
Раскроем скобки: 16 + 8d + d² = 1 + 4d + 4d²
Перенесем всё в левую часть: 16 + 8d + d² - 1 - 4d - 4d² = 0 15 + 4d - 3d² = 0
Умножим на (-1) и переставим: 3d² - 4d - 15 = 0
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: D = 16 + 4 · 3 · 15 = 16 + 180 = 196 = 14²
d = (4 + 14) / 6 = 18 / 6 = 3 или d = (4 - 14) / 6 = -10 / 6 = -5/3
Поскольку числа должны быть целыми, подходит d = 3.
Найдем числа арифметической прогрессии: a₁ = 1 a₂ = 1 + 3 = 4 a₃ = 1 + 2 · 3 = 7
Проверка: образуют ли 1, 4 + 3, 7² геометрическую прогрессию? 1, 7, 49
Частное: 7/1 = 7 и 49/7 = 7 ✓
Это геометрическая прогрессия со знаменателем 7.