Номер 872 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 872.
Докажите, что если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию, то его высоты также образуют геометрическую прогрессию.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулу площади треугольника S = (1/2) · сторона · высота. Выражение высоты через одну и ту же площадь для каждой стороны позволит найти отношение между соседними высотами и проверить, постоянно ли оно.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим стороны треугольника как a, aq, aq², где a > 0 и q > 0 — знаменатель прогрессии.
Шаг 1. Найдём площадь треугольника через разные стороны. Пусть S — площадь треугольника. Высоты, опущенные на стороны a, aq и aq², обозначим как h₁, h₂ и h₃.
По формуле площади треугольника:
- S = (1/2) · a · h₁
- S = (1/2) · aq · h₂
- S = (1/2) · aq² · h₃
Шаг 2. Выразим высоты через площадь и стороны. Из этих равенств получаем:
- h₁ = 2S/a
- h₂ = 2S/(aq)
- h₃ = 2S/(aq²)
Шаг 3. Проверим, образуют ли высоты геометрическую прогрессию. Найдём отношение соседних членов:
h₂/h₁ = (2S/(aq))/(2S/a) = (2S/(aq)) · (a/(2S)) = a/(aq) = 1/q
h₃/h₂ = (2S/(aq²))/(2S/(aq)) = (2S/(aq²)) · (aq/(2S)) = aq/(aq²) = 1/q
Шаг 4. Вывод. Так как h₂/h₁ = h₃/h₂ = 1/q, это означает, что высоты h₁, h₂, h₃ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1/q.
Что и требовалось доказать.