Номер 852 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев

а) Разделите первое уравнение на второе и введите переменную t = x/y. Получится квадратное уравнение относительно t. б) Используйте формулу x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²). Обозначьте x + y = s и xy = p, составьте систему для s и p.

Решение системы уравнений под пунктом а):

Дано: (x² + y²)(x - y) = 447 xy(x - y) = 210

Шаг 1. Заметим, что в обоих уравнениях есть общий множитель (x - y). Разделим первое уравнение на второе (при условии xy ≠ 0 и x ≠ y):

(x² + y²)(x - y) / [xy(x - y)] = 447 / 210

(x² + y²) / xy = 447 / 210

Шаг 2. Упростим дробь 447/210: 447/210 = 149/70

Шаг 3. Преобразуем левую часть: x²/xy + y²/xy = 149/70 x/y + y/x = 149/70

Шаг 4. Обозначим x/y = t, тогда: t + 1/t = 149/70

Шаг 5. Умножим на t: t² + 1 = 149t/70 70t² + 70 = 149t 70t² - 149t + 70 = 0

Шаг 6. Решаем квадратное уравнение через дискриминант: D = 149² - 4·70·70 = 22201 - 19600 = 2601 = 51²

t = (149 ± 51)/140 t₁ = 200/140 = 10/7 t₂ = 98/140 = 7/10

Шаг 7. Если x/y = 10/7, то x = 10y/7. Подставим во второе уравнение: xy(x - y) = 210 (10y/7)·y·(10y/7 - y) = 210 (10y²/7)·(3y/7) = 210 30y³/49 = 210 y³ = 343 y = 7, тогда x = 10

Шаг 8. Если x/y = 7/10, то x = 7y/10. Подставим: (7y/10)·y·(7y/10 - y) = 210 (7y²/10)·(-3y/10) = 210 -21y³/100 = 210 y³ = -1000 y = -10, тогда x = -7

Проверка: При (10; 7): (100+49)·3 = 447 ✓, 70·3 = 210 ✓ При (-7; -10): (49+100)·3 = 447 ✓, 70·3 = 210 ✓

Решение системы уравнений под пунктом б):

Дано: xy(x + y) = 30 x³ + y³ = 35

Шаг 1. Используем формулу суммы кубов: x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²) = (x + y)[(x + y)² - 3xy]

Шаг 2. Обозначим x + y = s, xy = p: ps = 30, откуда p = 30/s s(s² - 3p) = 35

Шаг 3. Подставим p = 30/s: s(s² - 3·30/s) = 35 s³ - 90 = 35 s³ = 125 s = 5

Шаг 4. Найдём p: p = 30/5 = 6

Шаг 5. x и y — корни уравнения t² - 5t + 6 = 0: (t - 2)(t - 3) = 0 t = 2 или t = 3

Проверка: При (2; 3): 2·3·5 = 30 ✓, 8 + 27 = 35 ✓