Номер 811 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 811.
Докажите, что при любых х:
а) трёхчлен х2 – 3х + 200 принимает положительные значения;
б) трёхчлен –х2 + 22х – 125 принимает отрицательные значения;
в) трёхчлен х2 – 16х + 64 принимает неотрицательные значения;
г) трёхчлен 10х – х2 – 25 принимает неположительные значения.
💡 Подсказка (без ответа)
Выделяй полный квадрат в каждом трёхчлене. Помни формулы: (а ± b)² = a² ± 2ab + b². Когда перед квадратом скобки стоит минус, выражение в скобках будет либо ≤ 0, либо ≥ 0 (в зависимости от знака).
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) х² – 3х + 200 > 0 при любых х
Выделим полный квадрат: х² – 3х + 200 = х² – 3х + 2,25 – 2,25 + 200 = (х – 1,5)² + 197,75
Так как (х – 1,5)² ≥ 0 при любых х, то (х – 1,5)² + 197,75 ≥ 197,75 > 0. Что и требовалось доказать.
б) –х² + 22х – 125 < 0 при любых х
Вынесем минус и выделим полный квадрат: –х² + 22х – 125 = –(х² – 22х + 125) = –(х² – 22х + 121 – 121 + 125) = –((х – 11)² + 4) = –(х – 11)² – 4
Так как –(х – 11)² ≤ 0 при любых х, то –(х – 11)² – 4 ≤ –4 < 0. Что и требовалось доказать.
в) х² – 16х + 64 ≥ 0 при любых х
Это формула квадрата разности: х² – 16х + 64 = (х – 8)²
Так как (х – 8)² ≥ 0 при любых х, выражение неотрицательно. Что и требовалось доказать.
г) 10х – х² – 25 ≤ 0 при любых х
Переупорядочим и выделим полный квадрат: 10х – х² – 25 = –х² + 10х – 25 = –(х² – 10х + 25) = –(х – 5)²
Так как (х – 5)² ≥ 0 при любых х, то –(х – 5)² ≤ 0. Что и требовалось доказать.