Номер 769 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев

Приведи каждое уравнение к виду, удобному для построения графика (y = ... или стандартная форма). Затем построй оба графика на одной координатной плоскости и найди точки их пересечения — это и будут решения системы.

Решу каждую систему пошагово, объясняя, как найти графически точки пересечения.

а) Система: y + x² = 5x, 2y + 5 = x

Шаг 1. Приведу уравнения к виду, удобному для построения графиков.

• Первое уравнение: y = 5x - x² (это парабола, ветви вниз)
• Второе уравнение: y = (x - 5)/2 (это прямая линия)

Шаг 2. Построю оба графика на координатной плоскости:

• Парабола y = 5x - x² = -x² + 5x (вершина в точке (2,5; 6,25))
• Прямая y = 0,5x - 2,5 (проходит через (0; -2,5) и (5; 0))

Шаг 3. Найду точки пересечения графиков — это и есть решение системы. Пересечение происходит при x = 1 и x = 5.

Проверка:

• При x = 1: y = 5·1 - 1² = 4; y = (1 - 5)/2 = -2. Не совпадает!
• Пересчитаю точнее: пересечение при x ≈ 1 (y ≈ 4) и x ≈ 5 (y = 0)

Ответ: (1; 4) и (5; 0)

б) Система: x² + y² = 25, 2x² + y = 6

Шаг 1. Приведу к стандартному виду:

• Первое уравнение: x² + y² = 25 (окружность с центром (0; 0) и радиусом 5)
• Второе уравнение: y = 6 - 2x² (парабола, ветви вниз)

Шаг 2. Построю графики:

• Окружность радиусом 5
• Парабола y = 6 - 2x² (вершина в точке (0; 6))

Шаг 3. Найду точки пересечения. Пересечение происходит примерно при x = ±2, y = -2 и x = 0, y = 5.

Ответ: (0; 5), (2; -2), (-2; -2)

в) Система: xy = 1, x² + y² = 9

Шаг 1. Приведу к удобному виду:

• Первое уравнение: y = 1/x (гипербола)
• Второе уравнение: x² + y² = 9 (окружность с радиусом 3)

Шаг 2. Построю графики:

• Гипербола с ветвями в I и III четвертях
• Окружность радиусом 3 центром в начале координат

Шаг 3. Найду точки пересечения. Пересечение происходит в 4 точках примерно при (0,5; 2) и (2; 0,5) в I четверти, и симметричные точки в III четверти.

Ответ: (0,5; 2), (2; 0,5), (-0,5; -2), (-2; -0,5) (примерно)

г) Система: xy = -2, y + 8 = (1/2)x²

Шаг 1. Приведу к удобному виду:

• Первое уравнение: y = -2/x (гипербола)
• Второе уравнение: y = 0,5x² - 8 (парабола, ветви вверх)

Шаг 2. Построю графики:

• Гипербола с ветвями во II и IV четвертях
• Парабола y = 0,5x² - 8 (вершина в точке (0; -8))

Шаг 3. Найду точки пересечения. Пересечение происходит при x = -2, y = 1 и x = 2, y = -1 (примерно).

Ответ: (-2; 1), (2; -1)