Номер 521 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 521.
Докажите, что неравенством |х| + |у| ≤ 1 на координатной плоскости задаётся фигура, изображённая на рисунке 66.
💡 Подсказка (без ответа)
Раскройте модули, рассмотрев отдельно четыре случая: когда х и у оба неотрицательны, когда х ≤ 0 и у ≥ 0, и так далее для каждого квадранта. В каждом случае вы получите линейное неравенство — уравнение прямой границы той области. Соединив все четыре области, убедитесь, что они образуют нужную фигуру.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нам нужно доказать, что неравенство |х| + |у| ≤ 1 задаёт квадрат с вершинами в точках (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1).
Шаг 1. Рассмотрим четыре случая в зависимости от знаков х и у.
Случай 1: х ≥ 0, у ≥ 0 Неравенство |х| + |у| ≤ 1 принимает вид: х + у ≤ 1 Это часть плоскости под прямой х + у = 1 в первом квадранте. Вершины: (1, 0), (0, 1), (0, 0).
Случай 2: х ≤ 0, у ≥ 0 Неравенство принимает вид: -х + у ≤ 1, или у ≤ 1 + х Это часть плоскости под прямой -х + у = 1 во втором квадранте. Вершины: (0, 1), (-1, 0), (0, 0).
Случай 3: х ≤ 0, у ≤ 0 Неравенство принимает вид: -х - у ≤ 1, или х + у ≥ -1 Это часть плоскости над прямой х + у = -1 в третьем квадранте. Вершины: (-1, 0), (0, -1), (0, 0).
Случай 4: х ≥ 0, у ≤ 0 Неравенство принимает вид: х - у ≤ 1, или х ≤ 1 + у Это часть плоскости под прямой х - у = 1 в четвёртом квадранте. Вершины: (1, 0), (0, -1), (0, 0).
Шаг 2. Проверим граничные точки:
- При х = 1, у = 0: |1| + |0| = 1 ✓ (входит в область)
- При х = 0, у = 1: |0| + |1| = 1 ✓ (входит в область)
- При х = -1, у = 0: |-1| + |0| = 1 ✓ (входит в область)
- При х = 0, у = -1: |0| + |-1| = 1 ✓ (входит в область)
Шаг 3. Объединяя все четыре случая, получаем квадрат (ромб) с вершинами (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1), включая его внутренность и границу.
Это именно фигура, изображённая на рисунке 66.